Questão 178 do ENEM 2014 — Matemática

A questão nos fornece uma função que modela a quantidade de crustáceos em toneladas ao longo do tempo: $Q(t) = \frac{600}{6 + 4\sin(wt)}$ Nosso objetivo é encontrar os valores máximo e mínimo dessa quantidade $Q(t)$.

Para resolver isso, precisamos focar na parte da equação que varia com o tempo, que é a função seno, representada por $\sin(wt)$. Independentemente do valor da constante $w$ ou do tempo $t$, sabemos da trigonometria que o valor do seno de qualquer ângulo sempre oscila em um intervalo bem definido: $-1 \leq \sin(wt) \leq 1$

Como o numerador da nossa função é uma constante positiva ($600$), o valor de $Q(t)$ vai depender exclusivamente do seu denominador, que é a expressão $6 + 4\sin(wt)$.

Aqui entra um conceito importante sobre frações:

• Para que a fração tenha o maior valor possível (máximo), seu denominador deve ser o menor possível.
• Para que a fração tenha o menor valor possível (mínimo), seu denominador deve ser o maior possível.

Vamos calcular esses dois cenários.

Calculando o valor máximo de $Q(t)$

Para obter o máximo de $Q(t)$, precisamos do menor denominador possível. Isso acontece quando o seno atinge seu valor mínimo, que é $-1$. Substituindo $\sin(wt) = -1$ na equação: $Q_{max} = \frac{600}{6 + 4(-1)}$ $Q_{max} = \frac{600}{6 - 4}$ $Q_{max} = \frac{600}{2} = 300 \text{ toneladas}$

Calculando o valor mínimo de $Q(t)$

Para obter o mínimo de $Q(t)$, precisamos do maior denominador possível. Isso ocorre quando o seno atinge seu valor máximo, que é $1$. Substituindo $\sin(wt) = 1$ na equação: $Q_{min} = \frac{600}{6 + 4(1)}$ $Q_{min} = \frac{600}{6 + 4}$ $Q_{min} = \frac{600}{10} = 60 \text{ toneladas}$

Portanto, o máximo e o mínimo de toneladas observados durante o estudo são, respectivamente, $300$ e $60$.