Questão 147 do ENEM 2014 — Matemática

Organizando os dados

O problema pede o número máximo de triângulos, não congruentes dois a dois, que se pode montar usando ao todo 17 palitos iguais, com a condição de que um dos lados meça exatamente 6 palitos.

Chamando os lados de $a$, $b$ e $c$, fixamos $a = 6$. Como o total de palitos é o perímetro: $a + b + c = 17$ $6 + b + c = 17$ $b + c = 11$

Listando as combinações

Precisamos dos pares de inteiros positivos $(b, c)$ que somam $11$. Para não contar o mesmo triângulo duas vezes (a ordem dos lados não muda a congruência), listamos com $b \le c$:

• $b = 1,\ c = 10$ → lados $6, 1, 10$
• $b = 2,\ c = 9$ → lados $6, 2, 9$
• $b = 3,\ c = 8$ → lados $6, 3, 8$
• $b = 4,\ c = 7$ → lados $6, 4, 7$
• $b = 5,\ c = 6$ → lados $6, 5, 6$

São $5$ combinações. Mas nem toda terna de medidas fecha um triângulo.

Aplicando a desigualdade triangular

Condição de existência do triângulo: cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois. Na prática, basta checar se a soma dos dois menores é maior que o maior lado.

1. Lados $1, 6, 10$: maior $= 10$; soma dos menores $= 1 + 6 = 7$. Como $7 < 10$, não forma triângulo.
2. Lados $2, 6, 9$: maior $= 9$; soma dos menores $= 2 + 6 = 8$. Como $8 < 9$, não forma triângulo.
3. Lados $3, 6, 8$: maior $= 8$; soma dos menores $= 3 + 6 = 9$. Como $9 > 8$, é válido.
4. Lados $4, 6, 7$: maior $= 7$; soma dos menores $= 4 + 6 = 10$. Como $10 > 7$, é válido.
5. Lados $5, 6, 6$: maior $= 6$; soma dos menores $= 5 + 6 = 11$. Como $11 > 6$, é válido.

Conclusão

Das $5$ combinações, apenas $3$ satisfazem a condição de existência. Como cada uma tem um conjunto diferente de medidas, os três triângulos são não congruentes dois a dois.

Portanto, a quantidade máxima de triângulos é $3$ — alternativa A.