Questão 163 do ENEM 2021 — Matemática

O enunciado nos apresenta a relação de Newton-Laplace, que descreve como calcular o módulo volumétrico de um fluido. Nosso objetivo é descobrir qual é a unidade de medida dessa grandeza física realizando uma análise dimensional.

A questão nos diz que o módulo volumétrico é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade do som e à densidade do fluido. Como a constante de proporcionalidade é adimensional (ou seja, não possui unidade de medida), a unidade do módulo volumétrico será dada pela multiplicação das unidades da velocidade ao quadrado e da densidade.

Vamos organizar as unidades de medida fornecidas no texto:

• Velocidade do som ($v$): metros por segundo, ou seja, $\text{m/s}$.
• Densidade ($\rho$): quilogramas por metro cúbico, ou seja, $\text{kg/m}^3$.

A relação matemática para as unidades pode ser escrita como: $[\text{Módulo Volumétrico}] = [v]^2 \cdot [\rho]$

Substituindo as unidades na expressão, temos: $[\text{Módulo Volumétrico}] = \left( \frac{\text{m}}{\text{s}} \right)^2 \cdot \left( \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \right)$

Primeiro, elevamos a unidade de velocidade ao quadrado: $\left( \frac{\text{m}}{\text{s}} \right)^2 = \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

Agora, multiplicamos esse resultado pela unidade de densidade: $[\text{Módulo Volumétrico}] = \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} \cdot \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Para simplificar essa expressão, podemos juntar tudo em uma única fração: $[\text{Módulo Volumétrico}] = \frac{\text{kg} \cdot \text{m}^2}{\text{m}^3 \cdot \text{s}^2}$

Observe que temos $\text{m}^2$ no numerador e $\text{m}^3$ no denominador. Pela regra de divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes ($2 - 3 = -1$): $[\text{Módulo Volumétrico}] = \frac{\text{kg} \cdot \text{m}^{-1}}{\text{s}^2}$

As alternativas da questão estão escritas em formato linear, sem frações. Para reescrever a nossa expressão nesse formato, basta lembrar que qualquer termo no denominador pode ser movido para o numerador invertendo o sinal do seu expoente. Assim, o $\text{s}^2$ que está dividindo passa a multiplicar como $\text{s}^{-2}$: $[\text{Módulo Volumétrico}] = \text{kg} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}$

Comparando o nosso resultado com as opções fornecidas, chegamos à alternativa correta.