Questão 180 do ENEM 2017 — Matemática

Para encontrar a lei da função, começamos identificando o tipo de gráfico. Como a representação é uma reta, trata-se de uma função afim (do 1º grau), cuja forma geral é:

$L(t) = at + b$

Onde:

• $L(t)$ é o lucro em função do tempo;
• $t$ é o tempo em dias;
• $a$ é o coeficiente angular (a taxa de variação, quanto o lucro muda por dia);
• $b$ é o coeficiente linear (o valor de $L$ quando $t = 0$, ou seja, onde a reta cruza o eixo vertical).

Achando o coeficiente linear $b$

O caminho mais rápido é olhar onde a reta corta o eixo vertical (eixo do Lucro): esse valor é diretamente o $b$. No gráfico, a reta intercepta o eixo vertical abaixo da origem, no valor $-1\,000$. Isso quer dizer que, no instante inicial $t = 0$, o lucro era $-1\,000$ (um prejuízo). Logo:

$b = -1\,000$

Com isso, a função já toma a forma:

$L(t) = at - 1\,000$

Achando o coeficiente angular $a$

Agora precisamos de mais um ponto da reta para descobrir $a$. O gráfico mostra a reta cruzando o eixo horizontal quando $t = 5$ (ali o lucro é zero) e passando pelo ponto em que $t = 20$ corresponde a um lucro de $3\,000$. Qualquer um desses pontos serve — vamos usar o mais simples, $(5,\ 0)$, que tem números menores.

Substituindo $t = 5$ e $L(5) = 0$:

$0 = a \cdot 5 - 1\,000$

Isolando $a$:

$5a = 1\,000 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{1\,000}{5} = 200$

Se você preferir conferir com o ponto $(20,\ 3\,000)$, a taxa de variação dá o mesmo: $a = \frac{3\,000 - (-1\,000)}{20 - 0} = \frac{4\,000}{20} = 200$.

Montando a equação final

Com $a = 200$ e $b = -1\,000$:

$L(t) = 200t - 1\,000$

Essa é exatamente a alternativa D.