Questão 138 do ENEM 2018 — Matemática

O enunciado afirma que a resistência elétrica $R$ é inversamente proporcional à área $S$ da seção transversal do condutor. Traduzindo essa afirmação para a linguagem matemática, escrevemos:

$R = \frac{k}{S}$

em que $k$ é uma constante de proporcionalidade positiva (tanto a resistência quanto a área assumem apenas valores positivos no contexto físico).

O segredo da questão está em reconhecer o formato do gráfico dessa função. Vamos investigar o comportamento de $R$ à medida que variamos $S$:

• Quando a área $S$ é muito pequena (tende a zero), o quociente $\frac{k}{S}$ cresce sem limite, ou seja, $R$ tende ao infinito. O gráfico se aproxima do eixo vertical ($R$), mas nunca o toca.
• Quando a área $S$ é muito grande (tende ao infinito), o quociente $\frac{k}{S}$ fica cada vez menor, ou seja, $R$ tende a zero. O gráfico se aproxima do eixo horizontal ($S$), mas também nunca o toca.

Esse comportamento — decrescente e assintótico a ambos os eixos — é a assinatura de uma função do tipo $y = \frac{k}{x}$, cujo gráfico é um ramo de hipérbole equilátera no primeiro quadrante.

Com essa caracterização em mãos, podemos descartar os formatos incompatíveis com a proporção inversa:

• Uma reta decrescente (do tipo $R = -aS + b$) tem taxa de variação constante e intercepta os dois eixos — é típica de uma função afim, não de uma proporção inversa.
• Uma reta crescente pela origem (do tipo $R = aS$) representaria grandezas diretamente proporcionais, o oposto do que o enunciado pede.
• Uma curva que toca o eixo vertical implicaria um valor finito de $R$ quando $S \to 0$, o que contraria a relação $R = k/S$ (em que $R \to \infty$ nesse limite).

A única alternativa cujo gráfico é o ramo de hipérbole equilátera no primeiro quadrante, decrescente e assintótico aos dois eixos sem tocá-los, é a alternativa C.