Questão 150 do ENEM 2011 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos encontrar qual das alternativas apresenta um ponto que satisfaz duas condições simultaneamente:

1. A estação deve estar na linha do metrô, ou seja, o ponto deve pertencer à reta de equação $y = x + 4$.
2. A distância em linha reta da estação até o hospital, localizado no ponto $P = (-5, 5)$, não pode ser maior que $5\text{ km}$.

Verificando a primeira condição (pertencer à reta)

Um ponto $(x, y)$ pertence à reta se, ao substituirmos suas coordenadas na equação $y = x + 4$, a igualdade for verdadeira. Vamos testar as alternativas:

• A) $(-5, 0)$: Substituindo $x = -5$ e $y = 0$, temos $0 = -5 + 4 \Rightarrow 0 = -1$. (Falso)
• B) $(-3, 1)$: Substituindo $x = -3$ e $y = 1$, temos $1 = -3 + 4 \Rightarrow 1 = 1$. (Verdadeiro)
• C) $(-2, 1)$: Substituindo $x = -2$ e $y = 1$, temos $1 = -2 + 4 \Rightarrow 1 = 2$. (Falso)
• D) $(0, 4)$: Substituindo $x = 0$ e $y = 4$, temos $4 = 0 + 4 \Rightarrow 4 = 4$. (Verdadeiro)
• E) $(2, 6)$: Substituindo $x = 2$ e $y = 6$, temos $6 = 2 + 4 \Rightarrow 6 = 6$. (Verdadeiro)

Com isso, já eliminamos as alternativas A e C. Restam como candidatas as alternativas B, D e E.

Verificando a segunda condição (distância até o hospital)

Agora, precisamos calcular a distância de cada um dos pontos restantes até o hospital $P = (-5, 5)$. A fórmula da distância $d$ entre dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é dada por:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

O problema exige que a distância seja no máximo $5\text{ km}$, ou seja, $d \leq 5$. Para facilitar os cálculos e evitar trabalhar com raízes quadradas, podemos elevar ambos os lados da inequação ao quadrado, o que nos dá a condição $d^2 \leq 25$.

Vamos testar os pontos candidatos:

• Candidato B) $(-3, 1)$: $d^2 = (-3 - (-5))^2 + (1 - 5)^2$ $d^2 = (-3 + 5)^2 + (-4)^2$ $d^2 = (2)^2 + 16$ $d^2 = 4 + 16 = 20$ Como $20 \leq 25$, este ponto atende à condição. A distância real é $d = \sqrt{20} \approx 4,47\text{ km}$.

• Candidato D) $(0, 4)$: $d^2 = (0 - (-5))^2 + (4 - 5)^2$ $d^2 = (5)^2 + (-1)^2$ $d^2 = 25 + 1 = 26$ Como $26 > 25$, este ponto não atende à condição. A distância real é $d = \sqrt{26} \approx 5,1\text{ km}$, o que ultrapassa o limite.

• Candidato E) $(2, 6)$: $d^2 = (2 - (-5))^2 + (6 - 5)^2$ $d^2 = (7)^2 + (1)^2$ $d^2 = 49 + 1 = 50$ Como $50 > 25$, este ponto também não atende à condição. A distância real é $d = \sqrt{50} \approx 7,07\text{ km}$.

Conclusão

O único ponto que pertence à reta do metrô e, ao mesmo tempo, está a uma distância menor ou igual a $5\text{ km}$ do hospital é o ponto $(-3, 1)$.