Questão 150 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de o usuário acertar a senha na primeira tentativa. A probabilidade é dada pela razão entre o número de casos favoráveis (o que queremos que aconteça) e o número de casos possíveis (o total de combinações que podem ser formadas).

A senha completa tem oito dígitos, mas o usuário esqueceu apenas os dois últimos. A informação crucial que o enunciado nos dá é que esses dois últimos dígitos são distintos, ou seja, não podem ser iguais.

Os algarismos disponíveis para formar a senha vão de $0$ a $9$, totalizando $10$ algarismos.

Vamos calcular o número total de possibilidades para esses dois últimos dígitos:

• Para o primeiro dígito esquecido (o sétimo da senha), o usuário pode escolher qualquer um dos $10$ algarismos disponíveis.
• Para o segundo dígito esquecido (o oitavo da senha), como ele lembra que os dígitos são distintos, ele não pode repetir o algarismo que acabou de escolher. Portanto, restam $9$ opções.

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, multiplicamos as possibilidades de cada escolha para encontrar o total de combinações possíveis: $10 \times 9 = 90 \text{ combinações possíveis}$

Dentre essas $90$ combinações, existe apenas uma que é a correta (a senha verdadeira).

Assim, a probabilidade $P$ de ele digitar a combinação correta ao acaso na primeira tentativa é a razão entre o caso favorável ($1$) e o total de casos possíveis ($90$): $P = \frac{1}{90}$

Portanto, a probabilidade de que o usuário acerte a senha na primeira tentativa é $\frac{1}{90}$.