Questão 155 do ENEM 2011 — Matemática

Para entender o aumento do poder de compra, precisamos relacionar o crescimento do salário com o aumento dos preços (inflação). O poder de compra pode ser entendido como a razão entre o salário que uma pessoa recebe e o custo de vida (preço das mercadorias).

Seja $S_0$ o salário inicial e $P_0$ o nível inicial de preços. O poder de compra inicial ($C_0$) é dado por: $C_0 = \frac{S_0}{P_0}$

A questão nos diz que o salário cresce $10,0\%$ ao ano. Após dois anos, o novo salário ($S_2$) sofrerá dois aumentos sucessivos de $10\%$. Para calcular isso, multiplicamos o valor inicial pelo fator de aumento $1 + 0,10 = 1,10$ elevado ao quadrado (pois são dois anos): $S_2 = S_0 \cdot (1,10)^2 = S_0 \cdot 1,21$

Da mesma forma, a inflação para esse grupo cresce $6,0\%$ ao ano. Após dois anos, o novo nível de preços ($P_2$) será o valor inicial multiplicado pelo fator de aumento $1 + 0,06 = 1,06$ elevado ao quadrado: $P_2 = P_0 \cdot (1,06)^2 = P_0 \cdot 1,1236$

Agora, vamos calcular o novo poder de compra ($C_2$) após esses dois anos: $C_2 = \frac{S_2}{P_2} = \frac{S_0 \cdot 1,21}{P_0 \cdot 1,1236}$

Podemos reescrever essa expressão separando a parte inicial ($C_0 = \frac{S_0}{P_0}$): $C_2 = C_0 \cdot \frac{1,21}{1,1236}$

Para descobrir o fator de aumento do poder de compra, basta realizar a divisão de $1,21$ por $1,1236$: $\frac{1,21}{1,1236} \approx 1,07689...$

Esse resultado nos mostra que o poder de compra final é aproximadamente $1,077$ vezes o poder de compra inicial. Para transformar esse fator em um aumento percentual, subtraímos $1$ (que representa os $100\%$ iniciais) e multiplicamos por $100$: $(1,07689... - 1) \cdot 100\% \approx 7,689...\%$

Arredondando para a primeira casa decimal, obtemos um aumento de aproximadamente $7,7\%$.