Questão 104 do ENEM 2017 — Ciências da Natureza

Para descobrir a idade do fóssil, precisamos comparar a taxa de emissão de radiação que ele apresentava quando o organismo estava vivo com a taxa de emissão atual. A diferença entre essas duas taxas nos dirá quantas meias-vidas se passaram.

Padronizando as unidades de emissão

O enunciado nos fornece a taxa de emissão atual do fóssil como $6\,750 \text{ emissões}/\text{hora}$ para a amostra inteira de $30 \text{ g}$. No entanto, a taxa de emissão para um ser vivo (que será a nossa taxa inicial) foi dada como $15 \text{ emissões}/(\text{min} \cdot \text{g})$.

Para podermos comparar esses valores, precisamos convertê-los para a mesma unidade. Vamos calcular qual seria a emissão inicial ($A_0$) de uma amostra de $30 \text{ g}$ em uma hora.

Primeiro, multiplicamos pela massa para encontrar a emissão por minuto da amostra inteira: $15 \text{ emissões}/(\text{min} \cdot \text{g}) \times 30 \text{ g} = 450 \text{ emissões}/\text{min}$

Como uma hora tem $60 \text{ minutos}$, multiplicamos esse valor por $60$ para encontrar a emissão por hora: $A_0 = 450 \text{ emissões}/\text{min} \times 60 \text{ min}/\text{h} = 27\,000 \text{ emissões}/\text{h}$

Calculando o número de meias-vidas

Sabemos que a atividade radioativa cai pela metade a cada meia-vida. A relação entre a atividade final ($A$), a atividade inicial ($A_0$) e o número de meias-vidas ($n$) é dada pela fórmula: $A = \frac{A_0}{2^n}$

Substituindo os valores que encontramos: $6\,750 = \frac{27\,000}{2^n}$

Isolando $2^n$: $2^n = \frac{27\,000}{6\,750}$ $2^n = 4$

Como $4 = 2^2$, concluímos que: $n = 2$

Isso significa que se passaram exatamente $2$ meias-vidas desde a morte do organismo.

Determinando a idade do fóssil

O enunciado informa que a meia-vida do carbono-14 é de $5\,730 \text{ anos}$. Como se passaram $2$ meias-vidas, a idade total ($t$) do fóssil será: $t = n \times t_{1/2}$ $t = 2 \times 5\,730 \text{ anos}$ $t = 11\,460 \text{ anos}$

Portanto, a idade do fóssil é de $11\,460 \text{ anos}$.