Questão 172 do ENEM 2013 — Matemática

O problema nos dá uma função que descreve como a temperatura do forno diminui ao longo do tempo após ser desligado. A expressão fornecida é:

$T(t) = -\frac{t^2}{4} + 400$

Onde $T(t)$ é a temperatura em graus centígrados e $t$ é o tempo em minutos.

A questão informa que a trava de segurança só é liberada quando o forno atinge a temperatura de $39^\circ\text{C}$. Nosso objetivo é descobrir qual é o tempo $t$ necessário para que isso aconteça. Para isso, basta substituirmos $T(t)$ por $39$ na equação e resolvermos para $t$.

Substituindo o valor, temos:

$39 = -\frac{t^2}{4} + 400$

Agora, vamos isolar a variável $t$. Passamos o termo com $t$ para o lado esquerdo da igualdade (mudando o sinal) e o $39$ para o lado direito:

$\frac{t^2}{4} = 400 - 39$

Realizando a subtração:

$\frac{t^2}{4} = 361$

O número $4$ está dividindo o $t^2$, então ele passa para o outro lado multiplicando:

$t^2 = 361 \cdot 4$

Neste ponto, você pode multiplicar $361$ por $4$ para obter $1444$ e depois extrair a raiz quadrada, ou pode usar uma propriedade das raízes para facilitar as contas. Como queremos encontrar $t$, aplicamos a raiz quadrada em ambos os lados:

$t = \sqrt{361 \cdot 4}$

Lembrando que a raiz de um produto é o produto das raízes, podemos calcular a raiz de cada número separadamente. Sabemos que $\sqrt{4} = 2$. Para encontrar $\sqrt{361}$, podemos pensar em quadrados perfeitos conhecidos: $10^2 = 100$ e $20^2 = 400$. O número $361$ está próximo de $400$ e termina em $1$, o que indica que sua raiz deve ser $19$. Verificando: $19 \cdot 19 = 361$.

Portanto:

$t = 19 \cdot 2 = 38$

Como o tempo deve ser um valor positivo, o tempo mínimo de espera é de $38$ minutos.

Analisando as alternativas, a resposta correta é a que indica $38,0$ minutos, ou seja, a alternativa D.