Questão 175 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolvermos esse problema, o primeiro passo é identificar as coordenadas das três antenas a partir do gráfico fornecido. Observando os eixos $x$ e $y$, temos os seguintes pontos:

• Antena $A$: $(30, 20)$
• Antena $B$: $(70, 20)$
• Antena $C$: $(60, 50)$

O enunciado nos diz que a torre deve ser construída em um local equidistante das três antenas. Isso significa que a distância da torre até a antena $A$ deve ser igual à distância até a antena $B$, que por sua vez deve ser igual à distância até a antena $C$. Vamos chamar as coordenadas da torre de $T(x, y)$.

Encontrando a coordenada $x$

Podemos simplificar muito o nosso trabalho se notarmos um detalhe importante: as antenas $A$ e $B$ possuem a mesma coordenada $y$ ($y = 20$). Elas estão alinhadas horizontalmente.

Qualquer ponto que seja equidistante de dois pontos alinhados horizontalmente deve estar exatamente no meio deles em relação ao eixo $x$ (ou seja, sobre a mediatriz do segmento $AB$). Portanto, a coordenada $x$ da torre será a média aritmética das coordenadas $x$ de $A$ e $B$:

$x = \frac{30 + 70}{2} = \frac{100}{2} = 50$

Agora já sabemos que a torre está na posição $T(50, y)$. Falta apenas descobrir a coordenada $y$.

Encontrando a coordenada $y$

Para encontrar o valor de $y$, usaremos a informação de que a distância da torre até a antena $A$ é igual à distância da torre até a antena $C$. Em termos matemáticos, $d_{TA} = d_{TC}$.

A fórmula da distância entre dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é dada por: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Para facilitar os cálculos e não precisarmos lidar com raízes quadradas, podemos igualar os quadrados das distâncias: $(d_{TA})^2 = (d_{TC})^2$.

Calculando o quadrado da distância de $T(50, y)$ até $A(30, 20)$: $(d_{TA})^2 = (50 - 30)^2 + (y - 20)^2$ $(d_{TA})^2 = 20^2 + (y - 20)^2$ $(d_{TA})^2 = 400 + y^2 - 40y + 400$ $(d_{TA})^2 = y^2 - 40y + 800$

Agora, calculando o quadrado da distância de $T(50, y)$ até $C(60, 50)$: $(d_{TC})^2 = (50 - 60)^2 + (y - 50)^2$ $(d_{TC})^2 = (-10)^2 + (y - 50)^2$ $(d_{TC})^2 = 100 + y^2 - 100y + 2500$ $(d_{TC})^2 = y^2 - 100y + 2600$

Igualando as duas expressões: $y^2 - 40y + 800 = y^2 - 100y + 2600$

Podemos cancelar o termo $y^2$ de ambos os lados da equação: $-40y + 800 = -100y + 2600$

Agora, isolamos o $y$. Passamos o $-100y$ para o lado esquerdo (somando) e o $800$ para o lado direito (subtraindo): $100y - 40y = 2600 - 800$ $60y = 1800$ $y = \frac{1800}{60}$ $y = 30$

Conclusão

Juntando as duas coordenadas que encontramos, o local adequado para a construção da torre é o ponto $T(50, 30)$.