Questão 107 do ENEM 2020 — Ciências da Natureza

Para resolver essa questão, precisamos entender como a pressão exercida por um objeto se comporta quando alteramos suas dimensões em uma determinada escala.

A pressão ($P$) que a torre exerce sobre a fundação é dada pela razão entre a força peso ($F$) e a área da base ($A$): $P = \frac{F}{A}$

A força peso, por sua vez, é o produto da massa ($m$) pela aceleração da gravidade ($g$). Como a torre e o modelo são feitos do mesmo material, eles possuem a mesma densidade ($\rho$). Sabendo que a massa é o produto da densidade pelo volume ($V$), podemos reescrever a força peso como: $F = m \cdot g = \rho \cdot V \cdot g$

Substituindo isso na fórmula da pressão, temos: $P = \frac{\rho \cdot V \cdot g}{A}$

Agora, vamos analisar o que acontece com o volume e a área quando construímos um modelo em escala. O enunciado nos diz que a escala linear é de $1:100$. Isso significa que cada dimensão linear (comprimento, largura, altura) da torre real é $100$ vezes maior que a do modelo.

Quando multiplicamos as dimensões lineares por um fator $k$ (neste caso, $k = 100$):

• A área (que é o produto de duas dimensões lineares) é multiplicada por $k^2$. Ou seja, $A_{\text{torre}} = 100^2 \cdot A_{\text{modelo}}$.
• O volume (que é o produto de três dimensões lineares) é multiplicado por $k^3$. Ou seja, $V_{\text{torre}} = 100^3 \cdot V_{\text{modelo}}$.

O que a questão pede é a razão entre a pressão da torre real e a pressão do modelo: $\frac{P_{\text{torre}}}{P_{\text{modelo}}}$

Vamos montar essa razão usando a fórmula da pressão que deduzimos, lembrando que a densidade ($\rho$) e a gravidade ($g$) são iguais para ambos: $\frac{P_{\text{torre}}}{P_{\text{modelo}}} = \frac{\frac{\rho \cdot V_{\text{torre}} \cdot g}{A_{\text{torre}}}}{\frac{\rho \cdot V_{\text{modelo}} \cdot g}{A_{\text{modelo}}}}$

Podemos simplificar a expressão cortando $\rho$ e $g$, e reorganizando a divisão de frações: $\frac{P_{\text{torre}}}{P_{\text{modelo}}} = \frac{V_{\text{torre}}}{A_{\text{torre}}} \cdot \frac{A_{\text{modelo}}}{V_{\text{modelo}}}$

Agora, substituímos as relações de escala que encontramos para o volume e a área da torre: $\frac{P_{\text{torre}}}{P_{\text{modelo}}} = \frac{100^3 \cdot V_{\text{modelo}}}{100^2 \cdot A_{\text{modelo}}} \cdot \frac{A_{\text{modelo}}}{V_{\text{modelo}}}$

Simplificando os termos $V_{\text{modelo}}$ e $A_{\text{modelo}}$, ficamos apenas com as potências de $100$: $\frac{P_{\text{torre}}}{P_{\text{modelo}}} = \frac{100^3}{100^2}$

Pela propriedade de divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes: $\frac{P_{\text{torre}}}{P_{\text{modelo}}} = 100^{3 - 2} = 100^1 = 100$

O número $100$ pode ser escrito em notação de potência de base $10$ como $10^2$. Portanto, a pressão exercida pela torre real é $10^2$ vezes maior que a pressão exercida pelo protótipo.