Questão 166 do ENEM 2022 — Matemática

Esta questão pede o domínio da função $f(x) = ax^2 + bx + c$ para que a situação representada seja real — ou seja, o conjunto dos valores de $x$ que fazem sentido físico no salto.

Domínio matemático x domínio da situação

Para uma função polinomial do 2º grau, o domínio puramente matemático seria todo o conjunto dos reais, $\mathbb{R}$. Mas aqui $x$ representa a posição horizontal (em metros) da pessoa durante o salto, então só interessam os valores de $x$ que ocorrem de fato no movimento.

Onde o movimento começa e termina

Analisando a trajetória descrita pela figura:

1. Início: a pessoa salta da beirada do andaime. Esse ponto de partida está sobre o eixo vertical, então a posição horizontal inicial é $x = 0$. (A pessoa não existe para $x < 0$: não há trajetória antes de sair do andaime.)
2. Fim: a pessoa avança para a frente e para baixo até tocar o chão, que corresponde à altura nula, $y = 0$. O ponto em que ela atinge o solo é onde a parábola cruza o eixo $x$, isto é, uma raiz de $f(x)$.

Qual raiz usar

A trajetória mostrada é consistente com uma parábola de concavidade voltada para baixo (a pessoa sobe um pouco e depois cai) que corta o eixo $y$ em um valor positivo (a altura de onde ela parte). Uma parábola assim tem duas raízes reais, mas a raiz à esquerda de $x = 0$ não tem sentido físico — seria uma posição "atrás" do andaime. O impacto no chão ocorre na raiz positiva, chamada $x_2$.

Montando o domínio

O salto real, portanto, só existe entre a saída do andaime ($x = 0$) e o toque no solo ($x = x_2$). A pessoa não recua para $x < 0$ nem afunda no chão para $x > x_2$. Assim, o domínio é o intervalo fechado: $D = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le x_2\}$

Conclusão

Esse intervalo é exatamente o descrito pela alternativa B.