Questão 162 do ENEM 2014 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender como a vazão da água se relaciona com as dimensões da tubulação e o tempo necessário para encher o reservatório.

O enunciado nos diz que a vazão ($Q$) é o produto da área da seção transversal ($A$) pela velocidade da água ($v$). Ou seja: $Q = A \cdot v$

A tubulação é cilíndrica, o que significa que sua seção transversal é um círculo. A área de um círculo é calculada pela fórmula: $A = \pi \cdot r^2$ onde $r$ é o raio da tubulação.

Na situação inicial, temos um raio $r$, uma velocidade $v$ e o tempo para encher o reservatório é de $4 \text{ horas}$.

A companhia decide duplicar o raio da tubulação para se adaptar às novas normas, mantendo a mesma velocidade da água. Vamos ver o que acontece com a nova área ($A'$): $A' = \pi \cdot (2r)^2$ $A' = \pi \cdot 4r^2$ $A' = 4 \cdot (\pi \cdot r^2)$ $A' = 4 \cdot A$

Como a área da seção transversal quadruplicou e a velocidade da água permaneceu a mesma, a nova vazão ($Q'$) também será quatro vezes maior que a vazão inicial: $Q' = 4 \cdot Q$

A vazão também pode ser entendida como o volume de água despejado dividido pelo tempo ($Q = \frac{\text{Volume}}{\text{Tempo}}$). Como o volume do reservatório não mudou, a vazão e o tempo são grandezas inversamente proporcionais. Isso significa que, se a vazão aumenta, o tempo necessário para encher o reservatório diminui na mesma proporção.

Se a vazão ficou $4$ vezes maior, o tempo necessário será $4$ vezes menor. Calculando o novo tempo ($t'$): $t' = \frac{4 \text{ horas}}{4} = 1 \text{ hora}$

Portanto, o tempo esperado para encher o mesmo reservatório após a adaptação é de $1 \text{ hora}$.