Questão 137 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de um time ser campeão sabendo que ele já venceu a primeira partida. Vamos chamar esse time de Time A e o adversário de Time B.

A série é decidida em uma disputa de "melhor de sete", o que significa que o campeão é o primeiro a alcançar $4$ vitórias. Como o Time A já venceu o primeiro jogo, o placar atual é de $1 \times 0$ a favor do Time A.

A partir de agora, o Time A precisa de apenas mais $3$ vitórias para ser campeão, enquanto o Time B precisa de $4$ vitórias. A probabilidade de qualquer time vencer uma partida é sempre $\frac{1}{2}$.

Podemos dividir a vitória do Time A em quatro cenários possíveis, dependendo de quantos jogos a mais serão necessários para encerrar a série. A regra de ouro aqui é: o último jogo da série deve ser obrigatoriamente uma vitória do Time A, caso contrário, a série teria acabado antes.

Cenário 1: O Time A vence em 4 jogos (varrida)

Para a série acabar no 4º jogo, o Time A precisa vencer os próximos $3$ jogos seguidos (jogos 2, 3 e 4). A probabilidade de isso acontecer é: $P_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ Para facilitar a soma no final, vamos escrever essa fração com denominador $64$: $P_1 = \frac{8}{64}$

Cenário 2: O Time A vence em 5 jogos

Para a série acabar no 5º jogo, o Time A deve vencer o 5º jogo e, nos $3$ jogos anteriores (jogos 2, 3 e 4), ele deve ter exatamente $2$ vitórias e $1$ derrota. O número de maneiras de distribuir essa $1$ derrota nos $3$ jogos é dado por uma combinação simples: $\binom{3}{1} = 3$. A probabilidade dessa sequência (que envolve $4$ novos jogos no total) é: $P_2 = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 3 \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$ Convertendo para o denominador $64$: $P_2 = \frac{12}{64}$

Cenário 3: O Time A vence em 6 jogos

Para a série acabar no 6º jogo, o Time A deve vencer o 6º jogo e, nos $4$ jogos anteriores (jogos 2, 3, 4 e 5), ele deve ter exatamente $2$ vitórias e $2$ derrotas. O número de maneiras de distribuir essas $2$ derrotas nos $4$ jogos é $\binom{4}{2} = 6$. A probabilidade dessa sequência (envolvendo $5$ novos jogos) é: $P_3 = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 6 \cdot \frac{1}{32} = \frac{6}{32}$ Convertendo para o denominador $64$: $P_3 = \frac{12}{64}$

Cenário 4: O Time A vence em 7 jogos

Para a série chegar ao limite do 7º jogo, o Time A deve vencer o 7º jogo e, nos $5$ jogos anteriores (jogos 2 a 6), ele deve ter exatamente $2$ vitórias e $3$ derrotas. O número de maneiras de distribuir essas $3$ derrotas nos $5$ jogos é $\binom{5}{3} = 10$. A probabilidade dessa sequência (envolvendo $6$ novos jogos) é: $P_4 = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 10 \cdot \frac{1}{64} = \frac{10}{64}$

Probabilidade Total

Como esses quatro cenários são mutuamente excludentes (não podem acontecer ao mesmo tempo), a probabilidade total de o Time A ser campeão é a soma das probabilidades de cada cenário: $P_{total} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4$ $P_{total} = \frac{8}{64} + \frac{12}{64} + \frac{12}{64} + \frac{10}{64}$ $P_{total} = \frac{42}{64}$

Portanto, a probabilidade de o time que venceu a primeira partida ser o campeão é de $\frac{42}{64}$.

(Dica extra: Uma forma alternativa e muito elegante de resolver é imaginar que os times jogarão todos os $6$ jogos restantes, independentemente de a série já estar decidida. Como o Time A precisa de pelo menos $3$ vitórias nesses $6$ jogos, basta calcular a probabilidade de ele vencer $3$, $4$, $5$ ou $6$ jogos usando a distribuição binomial. O resultado será exatamente o mesmo!)