Questão 171 do ENEM 2012 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos identificar o padrão matemático por trás da construção das figuras. O processo descrito é uma iteração geométrica (conhecida como Tapete de Sierpinski), onde uma mesma regra é aplicada repetidas vezes.

Vamos analisar o que acontece com o número de quadrados pretos a cada passo:

• Figura 1: Temos a situação inicial, que podemos considerar como $1$ quadrado grande.
• Figura 2 (1ª execução): O quadrado inicial é dividido em $9$ partes iguais e a parte central é removida. Assim, de $1$ quadrado, passamos a ter $8$ quadrados pretos.
• Figura 3 (2ª execução): A mesma regra é aplicada a cada um dos $8$ quadrados da figura anterior. Cada um deles se transforma em $8$ quadrados menores. O total de quadrados pretos passa a ser $8 \times 8 = 64$.

O enunciado pede o número de quadrados pretos após o processo ser executado $3$ vezes, e esclarece que isso equivale a aplicar a regra sobre a Figura 3.

Sabemos que a Figura 3 possui $64$ quadrados pretos. Ao aplicar o processo novamente, cada um desses $64$ quadrados será dividido em $9$ quadradinhos, e o central será removido. Ou seja, cada quadrado preto atual dará origem a $8$ novos quadrados pretos.

Para encontrar o total de quadrados na terceira execução, multiplicamos a quantidade de quadrados da etapa anterior por $8$: $64 \times 8 = 512$

Podemos também enxergar essa situação como uma progressão geométrica (PG) de razão $q = 8$, onde o número de quadrados na etapa $n$ é dado por $8^n$. Para a terceira execução ($n = 3$), temos: $8^3 = 512$

Portanto, restarão $512$ quadrados pretos nesse momento.