Questão 176 do ENEM 2016 — Matemática

Antes de qualquer conta, vale organizar o que a questão pede. Temos um crescimento exponencial modelado por $y(t) = a^{t-1}$ (o expoente é $t-1$; a escrita $y(t)=a\,t-1$ do enunciado é um problema de digitação, pois o contexto exige uma potência), onde $y$ é a altura em metros e $t$ o tempo em anos. Precisamos achar a constante $a$ e depois descobrir em que instante a planta terá crescido $7{,}5\text{ m}$.

1) Descobrindo a constante $a$

O gráfico indica a curva passando pela altura inicial em $t=0$ e por outro ponto marcado mais à direita. A leitura da figura mostra que em $t=0$ a altura é $0{,}5\text{ m}$ e que em $t=6$ a altura é $32\text{ m}$. Usando o ponto inicial: $y(0) = a^{0-1} = a^{-1}$ $0{,}5 = a^{-1}$

Como $0{,}5 = \frac{1}{2}$ e $a^{-1} = \frac{1}{a}$, temos: $\frac{1}{2} = \frac{1}{a} \Rightarrow a = 2$

Então a função é: $y(t) = 2^{t-1}$

Dá para conferir com o outro ponto do gráfico, em $t=6$: $y(6) = 2^{6-1} = 2^5 = 32$ O valor bate com o que a figura indica, confirmando o modelo.

2) Qual é a altura no momento do corte?

A muda é plantada com altura $y(0) = 0{,}5\text{ m}$. O corte deve acontecer quando ela crescer mais $7{,}5\text{ m}$ após o plantio. Logo, a altura final é a altura inicial somada ao crescimento: $y(t) = 0{,}5 + 7{,}5 = 8\text{ m}$

3) Resolvendo a equação exponencial

Basta igualar a função a $8$: $2^{t-1} = 8$

Escrevendo $8$ como potência de base $2$, temos $8 = 2^3$: $2^{t-1} = 2^3$

Com bases iguais, igualamos os expoentes: $t - 1 = 3 \Rightarrow t = 4$

Portanto, o tempo entre a plantação e o corte é de 4 anos, o que corresponde à alternativa B.