Questão 157 do ENEM 2020 — Matemática

Entendendo o Problema

Temos um grupo de 10 pessoas, que inclui 1 casal (2 pessoas). A brincadeira de amigo secreto ocorrerá em sequência: uma pessoa revela e presenteia, o presenteado faz o mesmo, e assim por diante.

O problema pede a probabilidade de que a primeira pessoa a revelar e a última a ser presenteada sejam exatamente as duas pessoas do casal.

Um detalhe importante (A falha da questão)

Antes de calcularmos, precisamos entender como o elaborador da questão pensou, pois há uma pequena falha lógica se pensarmos na vida real: se o amigo secreto formar um único ciclo de 10 pessoas, a 10ª pessoa da fila terá que presentear a 1ª pessoa (que começou revelando, mas ainda não ganhou presente). Nesse caso real, a primeira a revelar e a última a receber seriam a mesma pessoa, e a probabilidade de serem as duas do casal seria zero!

Como zero não está nas alternativas, precisamos seguir a lógica pretendida pelo elaborador: ele imaginou a brincadeira como uma fila linear de 10 posições, onde a 1ª posição é quem começa e a 10ª posição é a "última presenteada".

Calculando a Probabilidade

Vamos calcular a chance de o casal ocupar exatamente a 1ª e a 10ª posições dessa fila. Podemos fazer isso de duas formas:

Método 1: Probabilidade passo a passo

• A 1ª posição: Temos 10 pessoas no total. A probabilidade de a primeira pessoa sorteada ser uma das pessoas do casal é de 2 em 10. $P(\text{1ª posição}) = \frac{2}{10}$

• A 10ª posição: Sabendo que uma pessoa do casal já ocupou a 1ª posição, restam 9 pessoas para as demais vagas. Para que a última pessoa seja a outra metade do casal, temos apenas 1 opção favorável entre essas 9. $P(\text{10ª posição}) = \frac{1}{9}$

• Probabilidade conjunta: Multiplicamos as probabilidades dos dois eventos para que aconteçam simultaneamente: $P = \frac{2}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$

Método 2: Análise Combinatória

Se preferir usar permutações, pense no total de formas de organizar as 10 pessoas na fila:

• Casos possíveis: O número total de maneiras de ordenar as 10 pessoas é $10!$.
• Casos favoráveis: Queremos o casal nas pontas (posições 1 e 10). Eles podem se organizar de $2!$ formas (Pessoa A no início e B no fim, ou vice-versa). As outras 8 pessoas vão ocupar as 8 posições do meio, o que pode ser feito de $8!$ formas. Logo, temos $2 \times 8!$ casos favoráveis.

A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e os possíveis: $P = \frac{2 \times 8!}{10!}$

Abrindo o fatorial de 10 até chegar no 8: $P = \frac{2 \times 8!}{10 \times 9 \times 8!}$

Cancelando o $8!$ no numerador e no denominador: $P = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$

Ambos os raciocínios nos levam à mesma resposta, confirmando a alternativa correta.