Questão 145 do ENEM 2013 — Matemática

O critério da agência é a proporção áurea: um rosto é considerado harmonioso quando certas medidas faciais mantêm entre si uma razão igual ao número de ouro, representado pela letra grega $\Phi$ (Phi), cujo valor aproximado é $1,618$.

A relação usada estabelece que a razão entre as medidas maiores e as menores deve se aproximar de $\Phi$:

$\frac{M1}{M3} = \frac{M3}{M2} = \Phi \approx 1,618$

A estratégia é calcular as duas razões de cada candidata e verificar qual delas tem ambos os resultados mais próximos de $1,618$. Não basta uma razão bater: as duas precisam estar próximas ao mesmo tempo.

Candidata I ($M1 = 11$; $M2 = 5,5$; $M3 = 7$) $\frac{11}{7} \approx 1,571 \qquad \frac{7}{5,5} \approx 1,272$ Ambas ficam distantes de $1,618$.

Candidata II ($M1 = 10,5$; $M2 = 4,5$; $M3 = 6,5$) $\frac{10,5}{6,5} \approx 1,615 \qquad \frac{6,5}{4,5} \approx 1,444$ A primeira razão é ótima, mas a segunda se afasta bastante.

Candidata III ($M1 = 11,5$; $M2 = 3,5$; $M3 = 6,5$) $\frac{11,5}{6,5} \approx 1,769 \qquad \frac{6,5}{3,5} \approx 1,857$ As duas razões ficam muito acima de $1,618$.

Candidata IV ($M1 = 10$; $M2 = 4$; $M3 = 6,5$) $\frac{10}{6,5} \approx 1,538 \qquad \frac{6,5}{4} = 1,625$ A segunda razão é boa, mas a primeira fica distante.

Candidata V ($M1 = 10,5$; $M2 = 4$; $M3 = 6,5$) $\frac{10,5}{6,5} \approx 1,615 \qquad \frac{6,5}{4} = 1,625$ Aqui as duas razões ($\approx 1,615$ e $1,625$) ficam extremamente próximas de $1,618$.

Conclusão

A Candidata V é a única em que as duas proporções são simultaneamente próximas do número de ouro. Uma armadilha comum é calcular só a primeira razão e marcar a Candidata II, ou só a segunda e cair na Candidata IV. Como o critério exige harmonia no conjunto (as duas razões válidas ao mesmo tempo), a candidata selecionada é a V.