Questão 170 do ENEM 2023 — Matemática

O que a questão pede

O montante diário arrecadado (em milhares de reais) é dado pela função quadrática

$V(x) = \frac{x^2}{4} - 10x + 105,$

com $x$ representando os dias do mês, de $1$ a $30$. Precisamos do menor montante diário $V_0$ ao longo do mês e, com ele, classificar o desempenho segundo as faixas (em milhares de reais):

• Ótimo: $V_0 \geq 24$
• Bom: $20 \leq V_0 < 24$
• Regular: $10 \leq V_0 < 20$
• Ruim: $4 \leq V_0 < 10$
• Péssimo: $V_0 < 4$

Encontrando o valor mínimo

Como o coeficiente de $x^2$ é positivo ($a = \frac{1}{4}$), a parábola tem concavidade voltada para cima, e seu vértice é o ponto de mínimo.

A abscissa do vértice é $x_v = -\dfrac{b}{2a}$, com $a = \frac{1}{4}$ e $b = -10$:

$x_v = -\frac{-10}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20.$

O dia $x = 20$ está dentro do intervalo válido ($1$ a $30$), então o mínimo realmente ocorre nesse dia. Substituindo na função para achar o menor montante:

$V(20) = \frac{20^2}{4} - 10 \cdot 20 + 105 = \frac{400}{4} - 200 + 105 = 100 - 200 + 105 = 5.$

Logo, o menor montante diário é $V_0 = 5$ (milhares de reais).

Classificando o desempenho

Como $V_0 = 5$ satisfaz $4 \leq V_0 < 10$, o desempenho se enquadra na categoria Ruim.

Gabarito: Alternativa D