Questão 149 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro analisar o comportamento da produção de arroz ao longo dos anos fornecidos na tabela. Vamos observar a diferença de produção entre anos consecutivos:

• De $2012$ para $2013$: $51,50 - 50,25 = 1,25$
• De $2013$ para $2014$: $52,75 - 51,50 = 1,25$
• De $2014$ para $2015$: $54,00 - 52,75 = 1,25$

Como o aumento anual é constante e igual a $1,25$ tonelada, estamos diante de uma Progressão Aritmética (PA).

O comando da questão pede a quantidade total de arroz produzida no período de $2012$ a $2021$. Isso significa que precisamos somar as produções de todos os anos desse intervalo.

Identificando os elementos da PA

Para utilizar as fórmulas da PA, vamos organizar os dados que temos:

• O primeiro termo ($a_1$), que corresponde à produção no ano de $2012$, é $a_1 = 50,25$.
• A razão ($r$), que é o crescimento anual constante, é $r = 1,25$.
• O número de termos ($n$) é a quantidade de anos de $2012$ a $2021$. Contando os dois extremos, temos $n = 2021 - 2012 + 1 = 10$ anos.

Calculando a produção no último ano

Para encontrar a soma total, precisamos saber qual será a produção no último ano do período, ou seja, em $2021$. Esse será o nosso décimo termo ($a_{10}$). Utilizamos a fórmula do termo geral da PA:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Substituindo os valores:

$a_{10} = 50,25 + (10 - 1) \cdot 1,25$ $a_{10} = 50,25 + 9 \cdot 1,25$ $a_{10} = 50,25 + 11,25$ $a_{10} = 61,50$

Portanto, a produção projetada para o ano de $2021$ é de $61,50$ toneladas.

Calculando a produção total

Agora que conhecemos a produção do primeiro e do último ano do período, podemos calcular a produção total somando os $10$ termos dessa PA. Para isso, usamos a fórmula da soma dos termos de uma PA:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Substituindo os nossos dados:

$S_{10} = \frac{(50,25 + 61,50) \cdot 10}{2}$ $S_{10} = \frac{111,75 \cdot 10}{2}$ $S_{10} = \frac{1117,50}{2}$ $S_{10} = 558,75$

A quantidade total de arroz que deverá ser produzida no período de $2012$ a $2021$ é de $558,75$ toneladas, o que corresponde à alternativa D.