Questão 137 do ENEM 2014 — Matemática

A questão nos pede para projetar a taxa de fecundidade no Brasil para o ano de $2020$, baseando-se na tendência observada entre os anos de $2000$ e $2010$. O ponto crucial do enunciado é a expressão "variação percentual relativa". Isso nos indica que a queda não é um valor fixo (absoluto), mas sim uma proporção.

Quando lidamos com variações percentuais sucessivas em intervalos de tempo iguais, estamos trabalhando com o conceito de Progressão Geométrica (PG). Se a questão falasse apenas em "variação absoluta", usaríamos uma Progressão Aritmética (PA), o que nos levaria a uma armadilha.

Vamos estruturar nosso raciocínio:

Calculando a taxa de variação

Primeiro, precisamos descobrir qual foi o fator de decréscimo (a razão $q$) da taxa de fecundidade entre $2000$ e $2010$. Para isso, dividimos o valor final pelo valor inicial desse período:

$q = \frac{\text{Taxa em } 2010}{\text{Taxa em } 2000}$

Substituindo os valores fornecidos na tabela:

$q = \frac{1,90}{2,38}$

Isso significa que a taxa de $2010$ representa uma certa porcentagem da taxa de $2000$. Podemos manter a fração para evitar erros de arredondamento precoce.

Projetando o valor para 2020

O enunciado afirma que essa mesma variação percentual relativa se repetirá no período de $2010$ a $2020$. Portanto, para encontrar a taxa de fecundidade em $2020$, devemos multiplicar a taxa de $2010$ pelo mesmo fator $q$:

$\text{Taxa em } 2020 = \text{Taxa em } 2010 \cdot q$

Substituindo os valores:

$\text{Taxa em } 2020 = 1,90 \cdot \left( \frac{1,90}{2,38} \right)$

Realizando a multiplicação no numerador:

$\text{Taxa em } 2020 = \frac{1,90^2}{2,38} = \frac{3,61}{2,38}$

Agora, fazemos a divisão:

$\text{Taxa em } 2020 \approx 1,5168...$

Arredondando para duas casas decimais, conforme as alternativas da questão, obtemos o valor de $1,52$.

Cuidado com a armadilha

É muito comum em questões desse tipo o aluno calcular a diferença absoluta (subtração) entre os anos. Se fizéssemos $2,38 - 1,90 = 0,48$ e subtraíssemos esse valor de $1,90$, encontraríamos $1,42$, que é exatamente a alternativa B. No entanto, como o texto especifica "variação percentual relativa", o modelo correto é o multiplicativo (PG), e não o subtrativo (PA).

Portanto, a taxa de fecundidade estará mais próxima de $1,52$.