Questão 170 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro entender qual é a participação inicial de cada sócio na empresa e, em seguida, qual será a participação final desejada.

Participações Iniciais

O capital da empresa é dividido em partes proporcionais a $4$, $6$ e $6$. Para descobrir a fração que cada um possui do total da empresa, somamos todas as partes: $4 + 6 + 6 = 16 \text{ partes no total}$

Assim, a participação inicial de cada sócio em relação ao capital total é:

• Antônio: $\frac{4}{16}$
• Joaquim: $\frac{6}{16}$
• José: $\frac{6}{16}$

A Nova Divisão do Capital

O objetivo é igualar a participação dos três sócios. Como são $3$ pessoas, cada um deverá ficar com exatamente um terço ($\frac{1}{3}$) do capital total da empresa.

Para que isso aconteça, Joaquim e José (que têm partes iguais) precisarão ceder uma porção de suas cotas para Antônio. Vamos calcular quanto do capital total da empresa cada um deles precisa ceder. Para isso, subtraímos a participação final desejada da participação inicial que eles possuem: $\text{Fração a ceder} = \frac{6}{16} - \frac{1}{3}$

Para realizar essa subtração, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) entre $16$ e $3$, que é $48$: $\frac{6 \cdot 3}{16 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 16}{3 \cdot 16} = \frac{18}{48} - \frac{16}{48} = \frac{2}{48}$

Simplificando a fração por $2$, descobrimos que Joaquim e José precisam ceder, cada um, $\frac{1}{24}$ do capital total da empresa.

A Fração do Capital do Sócio

Aqui está o ponto de maior atenção da questão. O enunciado não pergunta qual é a fração do capital total que será transferida, mas sim "a fração do capital de cada sócio que Antônio deverá adquirir".

Ou seja, precisamos descobrir o que a parte cedida ($\frac{1}{24}$) representa dentro da parte que o sócio possuía originalmente ($\frac{6}{16}$). Para isso, calculamos a razão entre o que será cedido e o que ele tinha no início: $\text{Razão} = \frac{\frac{1}{24}}{\frac{6}{16}}$

Para dividir duas frações, mantemos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda: $\text{Razão} = \frac{1}{24} \cdot \frac{16}{6}$ $\text{Razão} = \frac{16}{144}$

Agora, basta simplificar a fração. Dividindo o numerador e o denominador por $16$, obtemos: $\text{Razão} = \frac{1}{9}$

Portanto, Antônio deverá adquirir $\frac{1}{9}$ do capital que cada um dos outros dois sócios possui.

A alternativa correta é a C.