Questão 166 do ENEM 2013 — Matemática

Como o dardo é lançado de forma aleatória, a probabilidade de acertar cada região é proporcional à área dessa região: quanto menor a área, menor a probabilidade. A pergunta é, então, qual quantidade de prêmios corresponde à região de menor área do alvo.

O alvo é formado por quatro círculos que se sobrepõem (um para cada eletrodoméstico), e há um quadrado $ABCD$ desenhado bem no centro, onde os quatro círculos se cruzam. A quantidade de prêmios cresce conforme o dardo cai em regiões de maior sobreposição:

• regiões cobertas por um só círculo dão $1$ prêmio;
• interseções de dois círculos dão $2$ prêmios;
• interseções de três círculos dão $3$ prêmios;
• a região onde os quatro círculos se cruzam dá $4$ prêmios.

O enunciado acrescenta uma regra: há um prêmio extra se o dardo cair no quadrado $ABCD$. Como o quadrado está dentro da zona central de máxima sobreposição, temos:

• cair dentro do quadrado $ABCD$ → os prêmios da zona central mais o extra: total de $5$ prêmios;
• cair na zona central de interseção dos quatro círculos, mas fora do quadrado → exatamente $4$ prêmios.

A figura mostra que as regiões de $1$, $2$ e $3$ prêmios são bem amplas, então a menor área está entre a região de $5$ prêmios (o quadrado central) e a região de $4$ prêmios (a faixa da interseção dos quatro círculos que sobra em volta do quadrado). Pela figura, essa faixa que dá $4$ prêmios é bastante estreita e corresponde à menor das áreas do alvo — menor até que o próprio quadrado.

Como a menor área é a da região de $4$ prêmios, é essa a quantidade de prêmios que João Maurício tem a menor probabilidade de ganhar.

A resposta correta é a alternativa D.