Questão 158 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos descobrir em qual mês a quantidade de pessoas infectadas atinge o seu valor máximo. O enunciado nos fornece a função que modela essa quantidade de infectados ao longo dos meses:

$p(t) = -t^2 + 10t + 24$

Essa é uma típica função do 2º grau (ou função quadrática), cujo gráfico é uma parábola. Como o coeficiente que acompanha o $t^2$ é negativo ($a = -1$), sabemos que a concavidade dessa parábola é voltada para baixo. Isso significa que a função sobe até atingir um pico (o ponto máximo) e depois começa a descer.

O ponto mais alto dessa parábola é chamado de vértice. Em problemas de otimização envolvendo funções do 2º grau, temos duas perguntas clássicas:

• Qual é o valor máximo? (Calculamos o $y$ do vértice, $y_v$).
• Quando ocorre o valor máximo? (Calculamos o $x$ do vértice, $x_v$).

A questão nos pede o mês em que há a maior quantidade de infectados, ou seja, queremos saber o "quando". Portanto, precisamos calcular a coordenada horizontal do vértice, que chamaremos de $t_v$ (o tempo no vértice).

A fórmula para encontrar essa coordenada é:

$t_v = \frac{-b}{2a}$

Vamos identificar os coeficientes da nossa função $p(t)$:

• $a = -1$
• $b = 10$
• $c = 24$

Substituindo os valores de $a$ e $b$ na fórmula, temos:

$t_v = \frac{-10}{2 \cdot (-1)}$

$t_v = \frac{-10}{-2}$

$t_v = 5$

Isso significa que o pico da epidemia, com o maior número de infectados, ocorre exatamente no mês $t = 5$.

Agora, basta olharmos para as propostas apresentadas pela Secretaria Municipal de Saúde e identificar qual delas engloba o mês $5$:

• I: $1 \leq t \leq 2$
• II: $3 \leq t \leq 4$
• III: $5 \leq t \leq 6$
• IV: $7 \leq t \leq 9$
• V: $10 \leq t \leq 12$

Como podemos observar, a proposta III cobre o período do mês $5$ ao mês $6$, englobando perfeitamente o momento de pico da infecção. Logo, essa deve ser a proposta escolhida.