Questão 136 do ENEM 2014 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos primeiro identificar o padrão de aumento nas distâncias que o atleta corre a cada dia. Como ele corre $1000\text{ m}$ no primeiro dia e aumenta $200\text{ m}$ a cada dia seguinte, estamos lidando com uma Progressão Aritmética (PA).

Nessa PA, temos as seguintes informações:

• O primeiro termo ($a_1$), que é a distância do primeiro dia, vale $1000$.
• A razão ($r$), que é o aumento diário, vale $200$.
• O número de dias de treinamento será representado por $n$.

O treinador deseja que a média diária percorrida ao final dos $n$ dias seja de $1700\text{ m}$. A média aritmética dos termos de uma PA finita pode ser calculada dividindo a soma de todos os termos ($S_n$) pelo número de termos ($n$).

Lembrando da fórmula da soma dos termos de uma PA: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Se dividirmos essa soma por $n$ para encontrar a média, obtemos uma expressão muito mais simples: $\text{Média} = \frac{S_n}{n} = \frac{a_1 + a_n}{2}$

Sabemos que a média desejada é $1700\text{ m}$ e que $a_1 = 1000\text{ m}$. Substituindo esses valores na fórmula da média, podemos descobrir a distância que ele correrá no último dia ($a_n$): $1700 = \frac{1000 + a_n}{2}$

Multiplicando ambos os lados por $2$: $3400 = 1000 + a_n$ $a_n = 3400 - 1000$ $a_n = 2400\text{ m}$

Isso significa que no último dia de treinamento, o atleta deverá correr $2400\text{ m}$. Agora, para descobrir quantos dias ($n$) o programa durou, usamos a fórmula do termo geral da PA: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Substituindo os valores que já conhecemos ($a_n = 2400$, $a_1 = 1000$ e $r = 200$): $2400 = 1000 + (n - 1) \cdot 200$

Subtraindo $1000$ de ambos os lados: $1400 = (n - 1) \cdot 200$

Dividindo ambos os lados por $200$: $\frac{1400}{200} = n - 1$ $7 = n - 1$ $n = 7 + 1$ $n = 8$

Portanto, o atleta deve participar desse programa por $8$ dias.