Questão 164 do ENEM 2009 — Matemática

Esta questão pede a porcentagem do terreno que ficou com João. A ideia é comparar a área da parte dele com a área total da propriedade.

Área total do terreno

O terreno é retangular, com dimensões de $3\text{ km}$ por $2\text{ km}$. Sua área total é o produto dos lados: $A_{\text{total}} = 3 \times 2 = 6\text{ km}^2$

Como a partilha foi feita

A área de extração de ouro é um quarto de círculo (um setor de $90^\circ$) com centro no canto inferior esquerdo. Os irmãos combinaram que cada um ficaria com a terça parte dessa área de ouro. Como as linhas de divisão saem todas desse mesmo centro, o ângulo de $90^\circ$ é repartido em três fatias iguais: $\text{Ângulo de cada fatia} = \frac{90^\circ}{3} = 30^\circ$

Pela partilha descrita, a parte de João é o triângulo junto à lateral esquerda do terreno, cuja linha divisória forma $30^\circ$ com essa lateral (o lado vertical).

A área do terreno de João

A região de João é um triângulo retângulo. Vamos identificar suas medidas:

• Um dos catetos é a lateral esquerda do terreno, que mede $2\text{ km}$ (a altura do retângulo).
• O ângulo entre essa lateral e a linha divisória é de $30^\circ$.
• O outro cateto é o pedaço da borda superior do terreno, cuja medida chamaremos de $x$.

Usamos a tangente, que relaciona o cateto oposto ao ângulo com o cateto adjacente. Tomando o ângulo de $30^\circ$ no vértice inferior, o cateto oposto é $x$ (na borda de cima) e o adjacente é a lateral de $2\text{ km}$: $\tan(30^\circ) = \frac{x}{2}$

O enunciado nos pede para considerar $\frac{\sqrt{3}}{3} = 0,58$, e sabemos que $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Logo: $0,58 = \frac{x}{2} \implies x = 2 \times 0,58 = 1,16\text{ km}$

Com base $x = 1,16\text{ km}$ e altura $2\text{ km}$, a área do triângulo de João é: $A_{\text{João}} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2} = \frac{1,16 \times 2}{2} = 1,16\text{ km}^2$

Porcentagem da área de João

Finalmente, comparamos a parte de João com o todo: $\text{Porcentagem} = \frac{A_{\text{João}}}{A_{\text{total}}} \times 100 = \frac{1,16}{6} \times 100 \approx 19,3\%$

O valor mais próximo entre as alternativas é $19\%$, o que corresponde à alternativa E.