Questão 160 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular o número total de senhas possíveis para cada um dos três tipos. A probabilidade de descobrir a senha ao acaso na primeira tentativa é dada por $p = \frac{1}{N}$, onde $N$ é o número total de senhas possíveis. Portanto, quanto maior for o número de senhas possíveis, menor será a probabilidade de alguém adivinhá-la. Primeiro, vamos organizar a quantidade de caracteres disponíveis em cada categoria: Algarismos: $10$ (de $0$ a $9$); Letras: $52$ ($26$ minúsculas + $26$ maiúsculas); Caracteres especiais: $6$ (!, @, #, undefined10 + 52 + 6 = 68. Agora, vamos calcular o número de combinações para cada tipo de senha, lembrando que em todos os tipos os caracteres devem ser **distintos** (não pode haver repetição). ## Senha do Tipo I: A senha é formada por 4$caracteres distintos escolhidos entre todos os$68$permitidos. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos$68$opções para o primeiro caractere,$67$para o segundo,$66$para o terceiro e$65para o quarto. O total de senhas do tipo I é: $$N_1 = 68 \times 67 \times 66 \times 65 = 19.545.240$$ ## Senha do Tipo II: A senha é formada por5$caracteres distintos:$3$letras,$1$algarismo e$1$caractere especial, nessa ordem. Temos$52 \times 51 \times 50$opções para as letras,$10$opções para o algarismo e$6opções para o caractere especial. O total de senhas do tipo II é: $$N_2 = 52 \times 51 \times 50 \times 10 \times 6 = 7.956.000$$ ## Senha do Tipo III: A senha é formada por6$caracteres distintos:$2$letras,$2$algarismos e$2$caracteres especiais, nessa ordem. Temos$52 \times 51$opções para as letras,$10 \times 9$opções para os algarismos e$6 \times 5opções para os caracteres especiais. O total de senhas do tipo III é: $$N_3 = 52 \times 51 \times 10 \times 9 \times 6 \times 5 = 7.160.400$$ ## Comparando as probabilidades: Observando os resultados, temos queN_1 > N_2 > N_3$. Como a probabilidade de acerto é o inverso do número de possibilidades ($p = \frac{1}{N}), a relação entre as probabilidades será inversa à relação entre as quantidades de senhas. Ou seja, quem tem mais possibilidades tem a menor probabilidade de ser descoberto: $$p_1 < p_2 < p_3$$ Apesar de a senha do tipo I ser a mais curta (apenas 4$ caracteres), o fato de não haver restrição de categorias para cada posição faz com que ela gere um número muito maior de combinações do que as senhas mais longas, porém restritas. Logo, o tipo I apresenta a menor probabilidade de ser descoberto ao acaso.