Questão 128 do ENEM 2024 — Ciências da Natureza

ENEM 2024Ciências da NaturezaPPL

Ao realizar os preparativos para o Natal, uma pessoa resolveu aumentar o número de lâmpadas incandescentes de um pisca-pisca que originalmente tinha 20 lâmpadas associadas em paralelo, cada uma com resistência $R$. Adicionou outras 20 lâmpadas com as mesmas especificações e também em paralelo. O circuito passou a ser composto por 40 lâmpadas em paralelo e uma fonte de resistência interna $r$. A corrente total do circuito com 40 lâmpadas é proporcional à corrente do circuito com 20 lâmpadas, ou seja, $i_{40} = \alpha \cdot i_{20}$. Ao ligar o sistema, ela observou que o brilho das lâmpadas diminuiu com fator de proporcionalidade igual a $\alpha^2$.

Qual é o fator $\alpha$, utilizado para a obtenção da redução do brilho em cada lâmpada?
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{1}{20}$
$\frac{\frac{R}{20} + r}{\frac{R}{40} + r}$
Resposta correta
D
$\frac{\frac{R}{40} + r}{\frac{R}{20} + r}$
E
$\frac{R}{40} + r$
Gabarito oficial: alternativa C

Resolução comentada

Para resolver essa questão, precisamos analisar o circuito elétrico em duas situações diferentes: primeiro com 2020 lâmpadas e depois com 4040 lâmpadas. Vamos usar os conceitos de resistência equivalente e a Lei de Pouillet (ou Lei de Ohm generalizada).

1. Resistência equivalente das lâmpadas

Quando temos resistores iguais associados em paralelo, a resistência equivalente (ReqR_{eq}) é dada pelo valor da resistência de um deles dividido pelo número de resistores.

  • Situação inicial (20 lâmpadas): Como cada lâmpada tem resistência RR, a resistência equivalente do conjunto de 2020 lâmpadas é: Req,20=R20R_{eq,20} = \frac{R}{20}

  • Situação final (40 lâmpadas): Ao adicionar mais 2020 lâmpadas em paralelo, passamos a ter 4040 lâmpadas. A nova resistência equivalente será: Req,40=R40R_{eq,40} = \frac{R}{40}

2. Corrente total do circuito

O circuito não é ideal, pois a fonte de tensão possui uma resistência interna rr. A resistência total do circuito é a soma da resistência equivalente das lâmpadas com a resistência interna da fonte.

A corrente total (ii) fornecida por uma fonte de força eletromotriz EE é dada por: i=ERtotali = \frac{E}{R_{total}}

Vamos aplicar isso para as duas situações:

  • Corrente com 20 lâmpadas (i20i_{20}): i20=ER20+ri_{20} = \frac{E}{\frac{R}{20} + r}

  • Corrente com 40 lâmpadas (i40i_{40}): i40=ER40+ri_{40} = \frac{E}{\frac{R}{40} + r}

3. Encontrando o fator α\alpha

O enunciado nos diz que a corrente total com 4040 lâmpadas é proporcional à corrente com 2020 lâmpadas, através da relação: i40=α⋅i20i_{40} = \alpha \cdot i_{20}

Isolando o α\alpha, temos: α=i40i20\alpha = \frac{i_{40}}{i_{20}}

Agora, basta substituir as expressões das correntes que encontramos no passo anterior: α=ER40+rER20+r\alpha = \frac{\frac{E}{\frac{R}{40} + r}}{\frac{E}{\frac{R}{20} + r}}

Para resolver essa divisão de frações, conservamos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda. Note que a força eletromotriz EE da fonte é a mesma e será cancelada: α=ER40+r⋅R20+rE\alpha = \frac{E}{\frac{R}{40} + r} \cdot \frac{\frac{R}{20} + r}{E}

α=R20+rR40+r\alpha = \frac{\frac{R}{20} + r}{\frac{R}{40} + r}

Esse é exatamente o fator de proporcionalidade procurado, que corresponde à alternativa C.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2024 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.