Questão 148 do ENEM 2015 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos relacionar os volumes de dois sólidos geométricos: o cilindro (que representa o poço) e o cone (que representa o monte de terra retirado).

Primeiro, vamos organizar as informações dadas no enunciado:

• Poço (Cilindro): Vamos chamar o raio da base de $r$ e a profundidade (que é a altura do cilindro) de $h$.
• Monte de terra (Cone): O raio da base é o triplo do raio do poço, ou seja, $R = 3r$. A altura do cone é $H = 2,4 \text{ m}$.

Além disso, o problema afirma que o volume do cone de terra é $20\%$ maior do que o volume do poço cilíndrico. Em termos matemáticos, isso significa que o volume do cone é igual a $120\%$ do volume do cilindro, ou seja: $V_{\text{cone}} = 1,2 \cdot V_{\text{cilindro}}$

Agora, vamos relembrar as fórmulas de volume para esses sólidos. O volume de um cilindro é dado pela área da base multiplicada pela altura: $V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot r^2 \cdot h$

O volume de um cone é um terço do produto da área da base pela altura: $V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot R^2 \cdot H$

Substituindo os dados do cone na fórmula, temos: $V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3r)^2 \cdot 2,4$ $V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9r^2 \cdot 2,4$ $V_{\text{cone}} = 3 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot 2,4$ $V_{\text{cone}} = 7,2 \cdot \pi \cdot r^2$

Agora, voltamos à relação entre os volumes que estabelecemos no início e substituímos as expressões que encontramos: $V_{\text{cone}} = 1,2 \cdot V_{\text{cilindro}}$ $7,2 \cdot \pi \cdot r^2 = 1,2 \cdot (\pi \cdot r^2 \cdot h)$

Note que o termo $\pi \cdot r^2$ aparece multiplicando em ambos os lados da equação. Como o raio $r$ é uma medida positiva (diferente de zero), podemos dividir os dois lados por $\pi \cdot r^2$, simplificando a equação: $7,2 = 1,2 \cdot h$

Para encontrar a profundidade $h$, basta isolar a variável: $h = \frac{7,2}{1,2}$ $h = 6 \text{ m}$

Portanto, a profundidade do poço é de $6,00 \text{ m}$.