Questão 174 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolver essa questão, nosso objetivo é encontrar a combinação de compras que resulte no menor gasto total para adquirir os três medicamentos ($X$, $Y$ e $Z$). Como as farmácias oferecem descontos condicionais, precisamos calcular o custo de comprar todos os medicamentos em uma única farmácia e também testar combinações entre elas.

Analisando as compras exclusivas em cada farmácia

Vamos calcular quanto o paciente gastaria se comprasse todos os medicamentos em um único estabelecimento, aplicando as regras de desconto fornecidas:

Farmácia 1: Não há descontos. O valor total é a soma simples dos preços de tabela: $C_1 = 45 + 40 + 50 = \text{R\$ } 135,00$

Farmácia 2: Ao comprar $X$ e $Y$ juntos, o paciente recebe $20\%$ de desconto nesses dois produtos. O medicamento $Z$ é cobrado pelo preço normal. O preço de $X$ e $Y$ sem desconto é $50 + 50 = 100$. Aplicando o desconto de $20\%$ (o que equivale a pagar $80\%$ do valor, ou seja, multiplicar por $0,8$): $\text{Valor de } X \text{ e } Y = 100 \times 0,80 = \text{R\$ } 80,00$ Somando o valor de $Z$ (\text{R\ } 40,00), temos o total: $$C_2 = 80 + 40 = \text{R\ } 120,00$$

Farmácia 3: Ao comprar os três medicamentos juntos, o paciente recebe $20\%$ de desconto sobre o valor total da compra. A soma dos preços de tabela é $65 + 45 + 35 = 145$. Aplicando o desconto de $20\%$: $C_3 = 145 \times 0,80 = \text{R\$ } 116,00$

Buscando a melhor combinação (Estratégia Mista)

Até agora, a Farmácia 3 é a opção mais barata (\text{R\ } 116,00$). No entanto, podemos tentar "dividir" a compra para aproveitar o que cada farmácia tem de melhor.

Vamos analisar o custo do par de medicamentos $X$ e $Y$:

• Na Farmácia 1, custam 45 + 40 = \text{R\ } 85,00$.
• Na Farmácia 2, com o desconto, custam \text{R\ } 80,00$.
• Na Farmácia 3, sem o desconto (pois o desconto só vale levando os três), custam 65 + 45 = \text{R\ } 110,00$.

Fica claro que o melhor lugar para comprar $X$ e $Y$ é na Farmácia 2, gastando \text{R\ } 80,00$.

Agora, vamos procurar o menor preço isolado para o medicamento $Z$:

• Farmácia 1: \text{R\ } 50,00$
• Farmácia 2: \text{R\ } 40,00$
• Farmácia 3: \text{R\ } 35,00$

O melhor lugar para comprar $Z$ é na Farmácia 3, gastando \text{R\ } 35,00$.

Juntando essas duas melhores opções, criamos uma estratégia mista:

• Comprar $X$ e $Y$ na Farmácia 2: \text{R\ } 80,00$
• Comprar $Z$ na Farmácia 3: \text{R\ } 35,00$

O custo total dessa combinação será: $C_{\text{misto}} = 80 + 35 = \text{R\$ } 115,00$

Conclusão

Comparando todos os cenários possíveis, o valor de \text{R\ } 115,00$é o menor custo alcançável. Para isso, o paciente deve comprar os medicamentos$X$e$Y$na Farmácia 2, e o medicamento$Z$ na Farmácia 3.