Questão 145 do ENEM 2014 — Matemática

Para responder, primeiro identificamos qual sólido a planificação forma quando montada e, só então, contamos suas arestas na estrutura tridimensional.

Que sólido a planificação forma

Pela figura, a planificação apresenta:

• $5$ retângulos alinhados lado a lado, que formarão a superfície lateral;
• $2$ pentágonos (polígonos de $5$ lados), um em cada extremidade da fileira, que servirão de base.

Um sólido com duas bases poligonais paralelas e congruentes, ligadas por faces laterais retangulares, é um prisma. Como as bases são pentágonos, trata-se de um prisma pentagonal.

Contagem das arestas

Um erro comum é tentar contar todos os traços do desenho plano. Ao montar o sólido, várias linhas da planificação se sobrepõem e viram uma única aresta. Por isso, contamos direto na figura tridimensional já montada:

1. Base inferior: pentágono, $5$ lados $\rightarrow$ $5$ arestas.
2. Base superior: o outro pentágono, $5$ lados $\rightarrow$ mais $5$ arestas.
3. Arestas laterais: ligam os $5$ vértices da base inferior aos $5$ da base superior $\rightarrow$ $5$ arestas verticais.

Somando:

$A = 5 + 5 + 5 = 15$

Dica de ouro: em qualquer prisma cuja base seja um polígono de $n$ lados, o número de arestas é sempre o triplo do número de lados: $A = 3n$. Para o pentágono ($n = 5$), $A = 3 \cdot 5 = 15$.

Portanto, o sólido terá $15$ arestas, o que corresponde à alternativa D.