Questão 155 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos identificar o padrão de repetição na sequência numérica fornecida e, a partir dele, prever qual será o número na posição $2.015$.

Identificando o Padrão (O Ciclo)

A sequência dada no enunciado é: $5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, \dots$

Observe que os números começam no $5$, diminuem até o $1$ e depois voltam a subir até o $4$, momento em que o $5$ aparece novamente e tudo recomeça. Vamos isolar esse bloco que se repete:

• 1º termo: $5$
• 2º termo: $4$
• 3º termo: $3$
• 4º termo: $2$
• 5º termo: $1$
• 6º termo: $2$
• 7º termo: $3$
• 8º termo: $4$

Logo em seguida, o $5$ reaparece, iniciando um novo ciclo. Portanto, o nosso bloco padrão possui exatamente $8$ elementos.

Encontrando a Posição $2.015$

Como o bloco se repete a cada $8$ números, podemos descobrir qual número estará na posição $2.015$ dividindo esse valor pelo tamanho do ciclo ($8$). O que realmente nos interessa nessa divisão não é o quociente (quantas vezes o ciclo se repetiu por completo), mas sim o resto, pois ele indicará a posição exata do número dentro do último ciclo incompleto.

Vamos armar a divisão de $2.015$ por $8$:

$2.015 \div 8$

1. Dividimos $20$ por $8$, o que dá $2$ e sobra $4$.
2. Baixamos o $1$, formando $41$. Dividimos $41$ por $8$, o que dá $5$ e sobra $1$.
3. Baixamos o $5$, formando $15$. Dividimos $15$ por $8$, o que dá $1$ e sobra $7$.

O resultado da divisão é um quociente de $251$ com um resto igual a $7$.

Isso significa que o bloco de $8$ números se repetiu inteiramente $251$ vezes e, para chegar à posição $2.015$, precisamos avançar mais $7$ posições no próximo ciclo.

Traduzindo o Código

Agora, basta olharmos para o nosso bloco padrão e identificarmos quem ocupa a $7^\text{a}$ posição:

$(5, 4, 3, 2, 1, 2, \mathbf{3}, 4)$

O $7^\text{o}$ termo do ciclo é o número $3$.

Por fim, consultamos a legenda fornecida no enunciado para saber a qual peça o código $3$ corresponde:

• 1: rolamento
• 2: pastilha de freio
• 3: caixa de direção
• 4: catalisador
• 5: amortecedor

O item cadastrado na posição $2.015$ foi uma caixa de direção.