Questão 141 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos trabalhar com o conceito de probabilidade complementar. O problema nos pede para encontrar a quantidade mínima de duchas, que chamaremos de $n$, para que a probabilidade de pelo menos uma funcionar regularmente seja de, no mínimo, $\frac{99}{100}$.

Sempre que um problema de probabilidade usa a expressão "pelo menos um", o caminho mais eficiente costuma ser calcular a probabilidade do evento complementar, ou seja, a probabilidade de que nenhuma ducha funcione regularmente (o que significa que todas apresentam funcionamento irregular).

De acordo com o enunciado, a probabilidade de uma única ducha apresentar funcionamento irregular é de $\frac{1}{10}$. Como o funcionamento de cada ducha é independente das demais, a probabilidade de que todas as $n$ duchas compradas apresentem defeito é dada pela multiplicação das probabilidades individuais:

$P(\text{todas irregulares}) = \left(\frac{1}{10}\right)^n$

A probabilidade de que pelo menos uma ducha funcione regularmente é o complemento de todas serem irregulares. Portanto, podemos escrever:

$P(\text{pelo menos uma regular}) = 1 - P(\text{todas irregulares})$ $P(\text{pelo menos uma regular}) = 1 - \left(\frac{1}{10}\right)^n$

O administrador deseja que essa probabilidade seja igual a, no mínimo, $\frac{99}{100}$. Assim, montamos a seguinte inequação:

$1 - \left(\frac{1}{10}\right)^n \geq \frac{99}{100}$

Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar o valor de $n$. Primeiro, isolamos o termo com a potência:

$1 - \frac{99}{100} \geq \left(\frac{1}{10}\right)^n$

$\frac{100 - 99}{100} \geq \left(\frac{1}{10}\right)^n$

$\frac{1}{100} \geq \left(\frac{1}{10}\right)^n$

Sabemos que $\frac{1}{100}$ pode ser reescrito como uma potência de base $\frac{1}{10}$:

$\left(\frac{1}{10}\right)^2 \geq \left(\frac{1}{10}\right)^n$

Como as bases são iguais e estão entre $0$ e $1$, ao compararmos os expoentes, o sinal da desigualdade se inverte. Ou seja, quanto maior o expoente de uma fração própria, menor o resultado da potência. Logo:

$2 \leq n \implies n \geq 2$

Portanto, a quantidade mínima de duchas que o administrador deverá adquirir para atingir seu planejamento é $2$.