Questão 89 do ENEM 2013 — Ciências da Natureza

Para resolver essa questão, precisamos entender que estamos lidando com uma mistura de duas porções de água em temperaturas diferentes. O objetivo é encontrar a razão entre a massa de água quente ($m_q$) e a massa de água fria ($m_f$) para que a temperatura final da mistura seja a ideal para o banho.

Organizando os dados

Temos as seguintes informações fornecidas pelo enunciado:

• Temperatura inicial da água quente: $T_q = 70 ^\circ\text{C}$
• Temperatura inicial da água fria: $T_f = 25 ^\circ\text{C}$
• Temperatura final de equilíbrio (ideal para o banho): $T_{eq} = 30 ^\circ\text{C}$

Princípio das Trocas de Calor

Quando misturamos substâncias em temperaturas diferentes em um sistema isolado, a quantidade de calor cedida pelo corpo mais quente é igual à quantidade de calor recebida pelo corpo mais frio. Pelo princípio da conservação de energia, a soma das quantidades de calor trocadas é igual a zero: $Q_q + Q_f = 0$

A quantidade de calor sensível (que causa variação de temperatura) é calculada pela fórmula: $Q = m \cdot c \cdot \Delta T$ Onde:

• $m$ é a massa;
• $c$ é o calor específico da substância (como ambas as porções são de água, o $c$ será o mesmo);
• $\Delta T$ é a variação de temperatura ($T_{final} - T_{inicial}$).

Montando a equação

Vamos calcular o calor trocado por cada porção de água.

Para a água quente: $Q_q = m_q \cdot c \cdot (T_{eq} - T_q)$ $Q_q = m_q \cdot c \cdot (30 - 70)$ $Q_q = m_q \cdot c \cdot (-40)$

Para a água fria: $Q_f = m_f \cdot c \cdot (T_{eq} - T_f)$ $Q_f = m_f \cdot c \cdot (30 - 25)$ $Q_f = m_f \cdot c \cdot (5)$

Substituindo na equação de conservação de energia: $m_q \cdot c \cdot (-40) + m_f \cdot c \cdot (5) = 0$

Como o calor específico $c$ da água é o mesmo e diferente de zero, podemos dividir toda a equação por $c$ para simplificar: $-40 \cdot m_q + 5 \cdot m_f = 0$

Agora, isolamos as variáveis para encontrar a razão pedida, que é $\frac{m_q}{m_f}$: $5 \cdot m_f = 40 \cdot m_q$ $\frac{m_q}{m_f} = \frac{5}{40}$

Simplificando a fração por $5$: $\frac{m_q}{m_f} = \frac{1}{8}$

Realizando a divisão: $\frac{m_q}{m_f} = 0,125$

Portanto, a razão entre a massa de água quente e a massa de água fria necessária para atingir a temperatura ideal é de $0,125$.