Questão 140 do ENEM 2012 — Matemática

Para descobrir qual é a opção mais vantajosa para Arthur, precisamos calcular quanto dinheiro sobrará para ele ao final de $1$ ano ($12$ meses) em cada uma das alternativas. Ele possui um capital inicial de R$ 55.000,00 e pode investir o valor que não for utilizado imediatamente a uma taxa de juros compostos de $10\%$ ao semestre.

Como a taxa é de $10\%$, a cada semestre o dinheiro investido será multiplicado pelo fator de aumento $1 + 0,10 = 1,1$. Se o dinheiro ficar investido por $1$ ano ($2$ semestres), ele será multiplicado por $1,1$ duas vezes, ou seja, por $1,1^2 = 1,21$.

Vamos analisar o saldo final de cada opção passo a passo:

Opção 1

Arthur paga tudo à vista por R$ 55.000,00.

• Ele gasta todo o seu dinheiro e não sobra nada para investir.
• Saldo final: R$ 0,00.

Opção 2

Arthur dá uma entrada de R$ 30.000,00 e paga R$ 26.000,00 em $6$ meses.

• Após a entrada, sobram $55.000 - 30.000 = 25.000$ reais para investir.
• Em $6$ meses, esse valor rende: $25.000 \times 1,1 = 27.500$ reais.
• Ele paga a parcela de R$ 26.000,00, sobrando: $27.500 - 26.000 = 1.500$ reais.
• Esse valor continua investido por mais $6$ meses (para completar $1$ ano): $1.500 \times 1,1 = 1.650$ reais.
• Saldo final: R$ 1.650,00.

Opção 3

Arthur dá uma entrada de R$ 20.000,00, paga R$ 20.000,00 em $6$ meses e R$ 18.000,00 em $12$ meses.

• Após a entrada, sobram $55.000 - 20.000 = 35.000$ reais para investir.
• Em $6$ meses, o valor rende: $35.000 \times 1,1 = 38.500$ reais.
• Ele paga a primeira parcela de R$ 20.000,00, sobrando: $38.500 - 20.000 = 18.500$ reais.
• Nos $6$ meses seguintes, o restante rende: $18.500 \times 1,1 = 20.350$ reais.
• Ele paga a última parcela de R$ 18.000,00, sobrando: $20.350 - 18.000 = 2.350$ reais.
• Saldo final: R$ 2.350,00.

Opção 4

Arthur dá uma entrada de R$ 15.000,00 e paga R$ 39.000,00 em $1$ ano.

• Após a entrada, sobram $55.000 - 15.000 = 40.000$ reais para investir.
• Como ele só vai pagar a próxima parcela em $1$ ano ($2$ semestres), o dinheiro rende duas vezes: $40.000 \times 1,21 = 48.400$ reais.
• Ele paga a parcela de R$ 39.000,00, sobrando: $48.400 - 39.000 = 9.400$ reais.
• Saldo final: R$ 9.400,00.

Opção 5

Arthur não dá entrada e paga R$ 60.000,00 em $1$ ano.

• Ele investe todo o seu dinheiro (R$ 55.000,00) por $1$ ano ($2$ semestres).
• O rendimento total será: $55.000 \times 1,21 = 66.550$ reais.
• Ele paga a parcela única de R$ 60.000,00, sobrando: $66.550 - 60.000 = 6.550$ reais.
• Saldo final: R$ 6.550,00.

Comparando os saldos finais de todas as opções, vemos que a Opção 4 é a que deixa Arthur com a maior quantia de dinheiro sobrando (R$ 9.400,00). Isso acontece porque essa opção permite que ele invista uma quantia alta (R$ 40.000,00) por um período longo ($1$ ano), maximizando o efeito dos juros compostos a seu favor.