Questão 180 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar as taxas com que o nível da água sobe (devido à chuva) e desce (devido ao ralo). Como a piscina tem o formato de um paralelepípedo retângulo, a variação do volume de água é diretamente proporcional à variação da altura. Portanto, podemos trabalhar apenas com as taxas de variação da altura da água em centímetros por minuto (cm/min).

1. Taxa de enchimento da chuva

O enunciado nos diz que a chuva começa às $17\text{h } 15\text{min}$ e, às $18\text{h}$, o nível da água atinge $20\text{ cm}$.

O tempo decorrido nesse intervalo é de $45\text{ minutos}$. Como apenas a chuva estava atuando, podemos calcular a taxa de aumento do nível da água ($v_c$): $v_c = \frac{20\text{ cm}}{45\text{ min}} = \frac{4}{9}\text{ cm/min}$

2. Taxa de escoamento do ralo

Às $18\text{h}$, o ralo é aberto. Entre $18\text{h}$ e $18\text{h } 40\text{min}$ (um intervalo de $40\text{ minutos}$), a chuva continua caindo, mas o ralo também está escoando a água. Nesse período, o nível da água cai de $20\text{ cm}$ para $15\text{ cm}$, ou seja, sofre uma variação de $-5\text{ cm}$.

A variação total do nível da água nesse momento é o resultado da água que entra (chuva) menos a água que sai (ralo). Se chamarmos a taxa de escoamento do ralo de $v_r$, temos a seguinte relação para os $40\text{ minutos}$: $(v_c - v_r) \cdot 40 = -5$

Substituindo o valor de $v_c$ que já encontramos: $\left(\frac{4}{9} - v_r\right) \cdot 40 = -5$ $\frac{4}{9} - v_r = -\frac{5}{40}$ $\frac{4}{9} - v_r = -\frac{1}{8}$

Isolando $v_r$: $v_r = \frac{4}{9} + \frac{1}{8}$

Para somar as frações, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) entre $9$ e $8$, que é $72$: $v_r = \frac{32}{72} + \frac{9}{72} = \frac{41}{72}\text{ cm/min}$

3. Tempo para esvaziar a piscina

Às $18\text{h } 40\text{min}$, a chuva para. A partir desse momento, apenas o ralo atua para esvaziar os $15\text{ cm}$ de água restantes.

Para descobrir o tempo $t$ necessário para a piscina secar completamente, usamos a taxa do ralo: $v_r \cdot t = 15$ $\frac{41}{72} \cdot t = 15$ $t = \frac{15 \cdot 72}{41}$ $t = \frac{1080}{41}$

Fazendo a divisão de $1080$ por $41$, obtemos: $t \approx 26,34\text{ minutos}$

Isso significa que a piscina levará pouco mais de $26\text{ minutos}$ para esvaziar completamente após as $18\text{h } 40\text{min}$.

4. Conclusão do horário

Somando os $26\text{ minutos}$ ao horário em que a chuva parou: $18\text{h } 40\text{min} + 26\text{ min} = 19\text{h } 06\text{min}$

O instante em que a água terminará de escoar será aproximadamente às $19\text{h } 06\text{min}$, o que está compreendido no intervalo entre $19\text{h}$ e $19\text{h } 10\text{min}$.