Questão 142 do ENEM 2018 — Matemática

Para achar a medida de $G\hat{I}F$ precisamos combinar duas informações: o ângulo interno de um octógono regular e o fato de o triângulo $IGH$ ser equilátero.

Ângulo interno do octógono. Em um polígono regular de $n$ lados, cada ângulo interno vale $A_i = \frac{(n - 2)\cdot 180^\circ}{n}.$ Para $n = 8$: $A_i = \frac{(8 - 2)\cdot 180^\circ}{8} = \frac{6\cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ.$ Logo, o ângulo interno no vértice $G$, isto é, $F\hat{G}H$, mede $135^\circ$.

Triângulo equilátero $IGH$. Como é equilátero, todos os seus ângulos medem $60^\circ$; em particular $I\hat{G}H = 60^\circ$. Além disso, o lado $GH$ é comum ao octógono e ao triângulo, então o lado do triângulo é igual ao lado do octógono. Daí: $FG = GH \text{ (lados do octógono)} \quad\text{e}\quad IG = GH \text{ (lados do triângulo)} \;\Rightarrow\; FG = IG.$

Triângulo isósceles $FGI$. Com $FG = IG$, o triângulo $FGI$ é isósceles, e os ângulos opostos aos lados iguais são congruentes: $G\hat{I}F = G\hat{F}I$.

Pela configuração descrita, o ângulo interno do octógono no vértice $G$ decompõe-se na soma dos ângulos $F\hat{G}I$ e $I\hat{G}H$: $F\hat{G}H = F\hat{G}I + I\hat{G}H \;\Rightarrow\; 135^\circ = F\hat{G}I + 60^\circ \;\Rightarrow\; F\hat{G}I = 75^\circ.$

Fechando pelo triângulo. A soma dos ângulos internos do triângulo $FGI$ é $180^\circ$: $F\hat{G}I + G\hat{I}F + G\hat{F}I = 180^\circ.$ Como $G\hat{I}F = G\hat{F}I$: $75^\circ + 2\cdot G\hat{I}F = 180^\circ \;\Rightarrow\; 2\cdot G\hat{I}F = 105^\circ \;\Rightarrow\; G\hat{I}F = 52,5^\circ.$

Portanto, a medida do ângulo $G\hat{I}F$ é $52,5^\circ$, o que corresponde à alternativa E.