Questão 155 do ENEM 2022 — Matemática

ENEM 2022MatemáticaPPL

As bactérias são microrganismos formados por uma única célula. Elas estão presentes em praticamente todos os meios: no ar, na água, no solo ou no interior de outros seres vivos. A forma de reprodução mais comum das bactérias é a assexuada por bipartição. Nesse processo, cada uma delas tem seu DNA duplicado e, posteriormente, se divide em duas células bacterianas.

De modo geral, em condições favoráveis, esse processo de bipartição se conclui a cada 20 minutos.

Disponível em: www.sobiologia.com.br. Acesso em: 16 nov. 2013 (adaptado).

Considere que, no instante $t = 0$, há uma quantidade $N_0$ de bactérias em um meio favorável à sua reprodução, de modo que nele só se reproduzem por bipartição.

A sequência formada pela quantidade de bactérias nesse meio nos instantes 0, 20, 40, 60, 80 e 100 minutos é

$N_0, N_0^2, N_0^3, N_0^4, N_0^5, N_0^6$

$N_0, N_0^2, N_0^4, N_0^8, N_0^{16}, N_0^{32}$

$N_0, 2N_0, 3N_0, 4N_0, 5N_0, 6N_0$

$N_0, 2N_0, 4N_0, 8N_0, 16N_0, 32N_0$

Resposta correta

$N_0, 3N_0, 7N_0, 15N_0, 31N_0, 63N_0$

Gabarito oficial: alternativa D

Resolução comentada

O problema descreve o crescimento populacional de uma colônia de bactérias que se reproduzem por bipartição. Isso significa que, a cada ciclo de reprodução, uma bactéria se divide em duas. Consequentemente, a quantidade total de bactérias no meio dobra a cada ciclo.

De acordo com o enunciado, esse ciclo de reprodução ocorre a cada $20$ minutos. Vamos analisar a quantidade de bactérias passo a passo, começando do instante inicial $t = 0$ até $t = 100$ minutos.

No instante $t = 0$ : A população inicial é dada como $N_0$ .
No instante $t = 20$ : Passou-se um ciclo de $20$ minutos. A população dobra, passando a ser $2 \cdot N_0 = 2N_0$ .
No instante $t = 40$ : Passou-se mais um ciclo. A população dobra novamente em relação ao instante anterior, resultando em $2 \cdot 2N_0 = 4N_0$ .
No instante $t = 60$ : Após mais $20$ minutos, a população dobra mais uma vez: $2 \cdot 4N_0 = 8N_0$ .
No instante $t = 80$ : Dobrando a quantidade anterior, temos $2 \cdot 8N_0 = 16N_0$ .
No instante $t = 100$ : Finalmente, no último ciclo pedido, a população dobra novamente, chegando a $2 \cdot 16N_0 = 32N_0$ .

Podemos notar que a sequência formada pela quantidade de bactérias ao longo do tempo é uma Progressão Geométrica (PG) de razão $q = 2$ , onde cada termo é o dobro do anterior.

Organizando os valores encontrados para os instantes $0, 20, 40, 60, 80$ e $100$ minutos, obtemos a seguinte sequência: $N_0, 2N_0, 4N_0, 8N_0, 16N_0, 32N_0$

Comparando com as alternativas apresentadas, essa sequência corresponde exatamente à alternativa D.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2022 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.