Questão 180 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender como as dimensões das folhas de papel da série A se relacionam. O enunciado nos diz que cada folha é obtida dividindo a folha anterior ao meio. Além disso, a razão entre a largura (menor medida) e a altura (maior medida) de qualquer folha dessa série é sempre $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Vamos chamar a altura da folha A1 de $h_1$ e a sua largura de $w_1$. Pela proporção dada no enunciado, temos:

$\frac{w_1}{h_1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies h_1 = w_1\sqrt{2}$

Quando dobramos ou cortamos uma folha ao meio para obter o próximo tamanho (por exemplo, de A1 para A2), o corte é feito paralelamente ao lado menor. Isso significa que a altura da nova folha será igual à largura da folha anterior, e a largura da nova folha será metade da altura da folha anterior.

Vamos acompanhar o que acontece com as dimensões até chegarmos à folha A4:

• Folha A2: A altura $h_2$ será a largura da A1 ($w_1$), e a largura $w_2$ será metade da altura da A1 ($\frac{h_1}{2}$).
• Folha A3: A altura $h_3$ será a largura da A2 ($w_2 = \frac{h_1}{2}$), e a largura $w_3$ será metade da altura da A2 ($\frac{w_1}{2}$).
• Folha A4: A altura $h_4$ será a largura da A3 ($w_3 = \frac{w_1}{2}$).

O problema pede o valor de $k$, que é a razão entre a altura da folha A1 ($h_1$) e a altura da folha A4 ($h_4$). Montando essa razão, temos:

$k = \frac{h_1}{h_4}$

Substituindo $h_4$ por $\frac{w_1}{2}$, obtemos:

$k = \frac{h_1}{\frac{w_1}{2}} = 2 \cdot \frac{h_1}{w_1}$

Sabemos desde o início que a razão entre a largura e a altura é $\frac{w_1}{h_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Invertendo essa fração, descobrimos que a razão entre a altura e a largura é:

$\frac{h_1}{w_1} = \sqrt{2}$

Agora, basta substituir esse valor na nossa equação para $k$:

$k = 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Portanto, a razão entre a altura da folha A1 e a altura da folha A4 é $2\sqrt{2}$.