Questão 157 do ENEM 2019 — Matemática

Ao truncar um tetraedro regular, cada face triangular e cada vértice cortado dão origem a novas faces — então a estratégia é contar essas faces com cuidado.

Primeiro, vamos lembrar as características de um tetraedro regular: é um sólido formado por $4$ faces, todas triângulos equiláteros, e possui $4$ vértices (as "pontas").

A questão diz que as secções (os cortes) são feitas removendo um terço ($1/3$) de cada aresta a partir dos vértices, como mostra a figura. Vamos analisar o efeito em duas partes: o que acontece com as faces originais e o que surge no lugar dos vértices cortados.

O que acontece com as faces originais?

Cada uma das $4$ faces do tetraedro é um triângulo equilátero. Ao cortar as pontas do sólido, cortamos também as $3$ pontas de cada um desses triângulos.

Se uma aresta original tem comprimento $a$, o corte remove $\frac{a}{3}$ de cada extremidade. O pedaço que sobra no meio da aresta mede: $a - \frac{a}{3} - \frac{a}{3} = \frac{a}{3}$

Além disso, cada ponta cortada do triângulo cria um novo lado, que também mede $\frac{a}{3}$. Assim, a face que antes era um triângulo (com $3$ lados) perde suas $3$ pontas e ganha $3$ novos lados, virando um polígono de $6$ lados iguais e ângulos iguais. Ou seja, cada face original se transforma em um hexágono regular. Como havia $4$ faces originais, teremos $4$ hexágonos regulares.

O que surge no lugar dos vértices?

O tetraedro possui $4$ vértices, e em cada um se encontram $3$ faces. Quando "fatiamos" a ponta, o corte atravessa essas $3$ faces e cria uma nova superfície plana. Como o corte é simétrico, essa nova "tampa" é um triângulo equilátero.

Como cortamos os $4$ vértices, surgem $4$ novos triângulos equiláteros.

Conclusão

Juntando as duas partes, a luminária em forma de tetraedro truncado terá:

• $4$ hexágonos regulares (as faces originais modificadas);
• $4$ triângulos equiláteros (as tampas dos vértices cortados).

Isso corresponde exatamente à alternativa A.