Questão 171 do ENEM 2011 — Matemática

A questão pede a lei matemática que liga o número de peças $X$ ao número mínimo de movimentos $Y$ na Torre de Hanói. Os dados da tabela são:

• $X = 1 \Rightarrow Y = 1$
• $X = 2 \Rightarrow Y = 3$
• $X = 3 \Rightarrow Y = 7$
• $X = 4 \Rightarrow Y = 15$

Um bom primeiro teste é olhar as diferenças entre valores consecutivos de $Y$:

• de $1$ para $3$: aumento de $2$;
• de $3$ para $7$: aumento de $4$;
• de $7$ para $15$: aumento de $8$.

As diferenças ($2, 4, 8$) não são constantes, então a relação não é uma função de 1º grau (reta). Repare, porém, que esses aumentos são potências de $2$ ($2^1, 2^2, 2^3$) — um forte indício de crescimento exponencial.

Vamos então comparar cada $Y$ com a potência de $2$ correspondente ao seu $X$:

• $X = 1$: $2^1 = 2$ e $Y = 1 = 2 - 1$;
• $X = 2$: $2^2 = 4$ e $Y = 3 = 4 - 1$;
• $X = 3$: $2^3 = 8$ e $Y = 7 = 8 - 1$;
• $X = 4$: $2^4 = 16$ e $Y = 15 = 16 - 1$.

Em todos os casos, o número de movimentos é igual a $2$ elevado ao número de peças, menos $1$: $Y = 2^X - 1$

A alternativa A corresponde a essa expressão exponencial $Y = 2^X - 1$. É importante não confundi-la com a expressão linear $Y = 2X - 1$: a forma linear até funciona para $X=1$ e $X=2$, mas falha já no terceiro termo, pois $2\cdot 3 - 1 = 5$, e não $7$. Por isso a resposta é a alternativa A.