Questão 142 do ENEM 2011 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro entender como a pontuação do jogo funciona. O enunciado nos diz que a quantidade de pontos necessária para atingir cada novo nível segue um padrão:

• Para o nível $1$, são necessários $1000$ pontos.
• Para o nível $2$, são necessários mais $1200$ pontos.
• Para o nível $3$, são necessários mais $1400$ pontos.

Podemos notar que a cada nível, a quantidade de pontos exigida aumenta em $200$ pontos em relação ao nível anterior. Essa sequência de pontos ($1000, 1200, 1400, \dots$) forma uma Progressão Aritmética (PA), onde:

• O primeiro termo ($a_1$) é $1000$.
• A razão ($r$) é $200$.

O comando da questão pede o total de pontos acumulados por um usuário que está no nível $15$. Isso significa que não queremos saber apenas quantos pontos ele precisou para passar do nível $14$ para o $15$, mas sim a soma de todos os pontos desde o nível $1$ até o nível $15$. Ou seja, precisamos calcular a soma dos $15$ primeiros termos dessa PA ($S_{15}$).

Para calcular a soma dos termos de uma PA, utilizamos a fórmula: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Observe que, para usar essa fórmula, precisamos conhecer o valor do último termo que vamos somar, que no nosso caso é o $15^\circ$ termo ($a_{15}$). Vamos encontrá-lo usando a fórmula do termo geral da PA: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Substituindo os valores que já conhecemos para $n = 15$: $a_{15} = 1000 + (15 - 1) \cdot 200$ $a_{15} = 1000 + 14 \cdot 200$ $a_{15} = 1000 + 2800$ $a_{15} = 3800$

Isso significa que, apenas para passar do nível $14$ para o $15$, o jogador precisou de $3800$ pontos. (Cuidado: essa é a alternativa A, uma pegadinha comum para quem resolve apenas parte do problema e esquece de somar o total!).

Agora que temos o valor de $a_{15}$, podemos calcular o total acumulado ($S_{15}$): $S_{15} = \frac{(1000 + 3800) \cdot 15}{2}$ $S_{15} = \frac{4800 \cdot 15}{2}$

Podemos simplificar dividindo $4800$ por $2$: $S_{15} = 2400 \cdot 15$ $S_{15} = 36000$

Portanto, um usuário que está no nível $15$ de experiência acumulou um total de $36000$ pontos.