Questão 171 do ENEM 2020 — Matemática

O ponto central desta questão é entender que formas geométricas surgem nos vazios quando encaixamos octógonos regulares lado a lado. A figura mostra os octógonos dispostos em duas fileiras dentro de um painel retangular, e os espaços em branco que sobram aparecem em dois lugares distintos: entre os octógonos (no interior) e junto às bordas e cantos do painel.

Antes de classificar cada vazio, vale calcular o ângulo interno do octógono regular. A soma dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados é: $S_i = (n - 2) \cdot 180^\circ$

Para o octógono ($n = 8$): $S_i = (8 - 2) \cdot 180^\circ = 1080^\circ$

Como o polígono é regular, cada ângulo interno vale: $A_i = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ$

Os vazios internos (entre os octógonos). Na figura, cada espaço branco do interior é cercado por lados de octógonos vizinhos, o que o torna um quadrilátero de lados iguais (todos são lados do octógono). Em cada vértice desse vazio encontram-se dois octógonos. Como a volta completa em torno de um ponto mede $360^\circ$, o ângulo do espaço vale: $360^\circ - (135^\circ + 135^\circ) = 90^\circ$

Um quadrilátero com os quatro lados iguais e os quatro ângulos retos é um quadrado. Logo, os vazios internos pedem o azulejo de formato $3$.

Os vazios das bordas e cantos. A figura mostra pequenos triângulos brancos encostados nas laterais e nos cantos do painel. Nos cantos, o ângulo é o próprio canto do retângulo, que mede $90^\circ$; os dois lados que o formam têm a mesma medida (por simetria), caracterizando um triângulo retângulo isósceles. Nas laterais, o vazio também é um triângulo com um ângulo reto (formado pelo encontro de dois octógonos, novamente $90^\circ$) e dois lados iguais, ou seja, igualmente um triângulo retângulo isósceles. Esses vazios pedem o azulejo de formato $1$.

Reunindo os dois casos, o painel é preenchido com azulejos de formato $1$ (triângulo retângulo isósceles) nas bordas e cantos e de formato $3$ (quadrado) no interior.

A resposta correta é a alternativa D (1 e 3).