Questão 176 do ENEM 2014 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar como as mudanças na massa e no diâmetro da barra cilíndrica afetam a sua altura, sabendo que a densidade do material permanece a mesma.

Primeiro, vamos organizar as informações da barra original (usada no chuveiro):

• Massa: $m$
• Diâmetro: $D = 2R$ (logo, o raio é $R$)
• Altura: $h$
• Volume: $V = \pi \cdot R^2 \cdot h$
• Densidade: $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi \cdot R^2 \cdot h}$

Agora, vamos ver os dados da nova barra de aterramento:

• Massa: $2m$ (o dobro da massa original)
• Diâmetro: $2D$ (o dobro do diâmetro original). Se o diâmetro dobrou, o raio também dobrou, passando a ser $2R$.
• Altura: $H$ (o que queremos descobrir)
• Volume: $V_{novo} = \pi \cdot (2R)^2 \cdot H = \pi \cdot 4R^2 \cdot H$
• Densidade: $\rho = \frac{2m}{V_{novo}} = \frac{2m}{\pi \cdot 4R^2 \cdot H}$

Como o enunciado afirma que as duas barras possuem a mesma densidade, podemos igualar as duas expressões de densidade que encontramos:

$\frac{m}{\pi \cdot R^2 \cdot h} = \frac{2m}{\pi \cdot 4R^2 \cdot H}$

Agora, vamos simplificar a equação. Podemos cancelar a massa $m$, a constante $\pi$ e o raio ao quadrado $R^2$, que aparecem em ambos os lados:

$\frac{1}{h} = \frac{2}{4 \cdot H}$

Simplificando a fração do lado direito (dividindo o numerador e o denominador por $2$):

$\frac{1}{h} = \frac{1}{2H}$

Multiplicando cruzado, obtemos a relação entre as alturas:

$2H = h$ $H = \frac{h}{2}$

Portanto, a altura da barra utilizada no novo aterramento é a metade da altura da barra utilizada no chuveiro.

Isso faz todo o sentido geométrico: para manter a mesma densidade com o dobro da massa, o volume precisaria dobrar. No entanto, como o raio dobrou, a área da base do cilindro quadruplicou (pois a área depende do raio ao quadrado). Para que o volume final seja apenas o dobro (e não o quádruplo), a altura precisa ser reduzida pela metade.