Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir dez pinos, dispostos em uma formação de base triangular, buscando derrubar o maior número de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas determina seu desempenho. Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados: Jogador I – Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas. Jogador II – Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas. Jogador III – Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas. Jogador IV – Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas. Jogador V – Derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas. Qual desses jogadores apresentou maior desempenho?

Questão 154 do ENEM 2014 (Matemática)

O enunciado nos diz que o desempenho de um jogador de boliche é medido pela razão entre o total de vezes em que ele derruba todos os pinos e o número total de jogadas. Nosso objetivo é calcular essa razão para cada um dos cinco jogadores e identificar qual deles obteve o maior valor.

Vamos montar a razão (fração) para cada jogador:

Jogador I: Derrubou todos os pinos $50$ vezes em $85$ jogadas. Razão: $\frac{50}{85}$ . Simplificando por $5$ , temos $\frac{10}{17}$ .
Jogador II: Derrubou todos os pinos $40$ vezes em $65$ jogadas. Razão: $\frac{40}{65}$ . Simplificando por $5$ , temos $\frac{8}{13}$ .
Jogador III: Derrubou todos os pinos $20$ vezes em $65$ jogadas. Razão: $\frac{20}{65}$ . Simplificando por $5$ , temos $\frac{4}{13}$ .
Jogador IV: Derrubou todos os pinos $30$ vezes em $40$ jogadas. Razão: $\frac{30}{40}$ . Simplificando por $10$ , temos $\frac{3}{4}$ .
Jogador V: Derrubou todos os pinos $48$ vezes em $90$ jogadas. Razão: $\frac{48}{90}$ . Simplificando por $6$ , temos $\frac{8}{15}$ .

Agora, precisamos comparar essas frações para descobrir qual é a maior. Uma maneira simples de fazer isso é transformar as frações em números decimais (dividindo o numerador pelo denominador) ou comparar com frações conhecidas.

Sabemos que a razão do Jogador IV é $\frac{3}{4}$ , o que equivale a $0,75$ (ou $75\%$ ). Vamos analisar os outros jogadores em relação a esse valor:

Para o Jogador I, $\frac{10}{17}$ é menor que $\frac{10}{16}$ (pois aumentar o denominador diminui o valor da fração). Como $\frac{10}{16} = \frac{5}{8} = 0,625$ , então $\frac{10}{17} < 0,75$ .
Para o Jogador II, $\frac{8}{13}$ é menor que $\frac{8}{12}$ . Como $\frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0,66$ , então $\frac{8}{13} < 0,75$ .
O Jogador III tem uma razão de $\frac{4}{13}$ , que é a metade do Jogador II, logo, bem menor que $0,75$ .
Para o Jogador V, $\frac{8}{15}$ é menor que $\frac{8}{12}$ , ou seja, também é menor que $0,66$ , logo $\frac{8}{15} < 0,75$ .

Como podemos ver, o Jogador IV é o único que possui um desempenho de $75\%$ , enquanto todos os outros têm desempenhos inferiores a $66\%$ . Portanto, o Jogador IV apresentou o maior desempenho.

Questão 154 do ENEM 2014 — Matemática

Resolução comentada