Questão 158 do ENEM 2013 — Matemática

O objetivo é descobrir a área do terreno retangular ($10\text{ m}$ de altura por $31,5\text{ m}$ de largura, conforme a figura) que fica efetivamente iluminada pelas duas lâmpadas, situadas nos pontos $C$ e $D$. Cada lâmpada ilumina um círculo de raio $5\text{ m}$, e as posições $AC = BD = 2,5\text{ m}$ colocam cada lâmpada perto de um canto do terreno.

O formato da região iluminada por uma lâmpada

Vamos analisar a lâmpada em $C$. Como $C$ está sobre a borda inferior, metade da luz iria para fora do terreno (para baixo). Além disso, $C$ está a apenas $2,5\text{ m}$ do canto $A$ (parede da esquerda), e como o raio de $5\text{ m}$ é maior que essa distância, parte da luz também escapa pela lateral esquerda.

A parte que fica dentro do terreno pode ser dividida em duas figuras simples, traçando o segmento de $C$ até o ponto $P$ onde o alcance da luz toca a parede esquerda:

1. Um triângulo retângulo $ACP$, com o ângulo reto em $A$.
2. Um setor circular que cobre o restante da luz que incide no terreno.

Área do triângulo

No triângulo $ACP$: cateto $AC = 2,5\text{ m}$ e hipotenusa $CP = 5\text{ m}$ (o raio). Por Pitágoras, achamos o outro cateto $AP$:

$AC^2 + AP^2 = CP^2$ $2,5^2 + AP^2 = 5^2 \;\Rightarrow\; 6,25 + AP^2 = 25 \;\Rightarrow\; AP^2 = 18,75$ $AP = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\text{ m}$

Área do triângulo:

$A_{\text{triângulo}} = \frac{AC \cdot AP}{2} = \frac{2,5 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{8}\text{ m}^2$

Área do setor circular

Precisamos do ângulo do setor. No triângulo, o ângulo $\theta$ no vértice $C$ satisfaz:

$\cos\theta = \frac{AC}{CP} = \frac{2,5}{5} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \theta = 60^\circ$

Como a lâmpada está sobre uma borda reta, ela ilumina para dentro do terreno num arco de $180^\circ$. Descontando os $60^\circ$ ocupados pelo triângulo, o setor tem:

$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Um setor de $120^\circ$ é um terço do círculo:

$A_{\text{setor}} = \frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot \pi R^2 = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 5^2 = \frac{25\pi}{3}\text{ m}^2$

Área de uma lâmpada com as aproximações

Usando $\sqrt{3} \approx 1,7$ e $\pi \approx 3$:

$A_{\text{triângulo}} \approx \frac{25 \cdot 1,7}{8} = \frac{42,5}{8} = 5,3125\text{ m}^2$ $A_{\text{setor}} \approx \frac{25 \cdot 3}{3} = 25\text{ m}^2$ $A_{\text{lâmpada}} \approx 5,3125 + 25 = 30,3125\text{ m}^2$

Área total

São duas lâmpadas ($C$ e $D$), posicionadas em cantos opostos do terreno. Pelas posições indicadas na figura, as duas regiões iluminadas não se sobrepõem, então basta somar (multiplicar por $2$):

$A_{\text{total}} = 2 \cdot 30,3125 = 60,625\text{ m}^2$

O valor mais próximo entre as alternativas é $61\text{ m}^2$. Resposta: D.