Questão 155 do ENEM 2014 — Matemática

Para determinar a menor nota que o candidato II precisa tirar, devemos primeiro calcular a nota final dos seus concorrentes. A nota final é uma média ponderada em que a disciplina de Química tem peso $4$ e a de Física tem peso $6$.

Calculando a nota dos concorrentes

A média ponderada é obtida multiplicando cada nota pelo seu peso, somando os resultados e dividindo pela soma dos pesos (que é $4 + 6 = 10$).

Para o Candidato I: $\text{Média}_I = \frac{20 \times 4 + 23 \times 6}{10}$ $\text{Média}_I = \frac{80 + 138}{10}$ $\text{Média}_I = \frac{218}{10} = 21,8$

Para o Candidato III: $\text{Média}_{III} = \frac{21 \times 4 + 18 \times 6}{10}$ $\text{Média}_{III} = \frac{84 + 108}{10}$ $\text{Média}_{III} = \frac{192}{10} = 19,2$

O Candidato I tem a maior nota até o momento ($21,8$). Portanto, para que o Candidato II vença a competição, sua média final deve ser estritamente maior que $21,8$.

Calculando a nota necessária para o Candidato II

O Candidato II tirou $25$ em Física e sua nota em Química é $X$. Montando a expressão da sua média: $\text{Média}_{II} = \frac{X \times 4 + 25 \times 6}{10} = \frac{4X + 150}{10}$

Para vencer, essa média deve ser maior que a do Candidato I: $\frac{4X + 150}{10} > 21,8$

Multiplicando ambos os lados por $10$: $4X + 150 > 218$

Subtraindo $150$ de ambos os lados: $4X > 68$

Dividindo por $4$: $X > 17$

Como as notas são números inteiros, $X$ deve ser o menor inteiro estritamente maior que $17$.

Portanto, a menor nota que o candidato II deverá obter é $18$.