Questão 152 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos comparar o custo mensal de cada pacote em função da quantidade de minutos utilizados. Vamos chamar de $x$ o número total de minutos de ligação que o usuário faz em um mês.

Analisando os custos de cada pacote

Pacote Laranja: Custa R$ 143,00 fixos e dá direito a $300$ minutos. Se o usuário falar mais que $300$ minutos, paga R$ 0,40 por minuto extra. Como queremos descobrir a partir de quando esse pacote passa a ser vantajoso em relação ao azul, vamos supor inicialmente que o uso não ultrapasse a franquia de $300$ minutos. Nesse cenário, o custo do pacote laranja é constante: $C_L(x) = 143$

Pacote Azul: Custa R$ 80,00 fixos e dá direito a $100$ minutos. Se o usuário falar mais que $100$ minutos, paga R$ 0,90 por minuto extra. Para que o pacote laranja (que custa no mínimo R$ 143,00) seja mais vantajoso, o custo do pacote azul deve ultrapassar R$ 143,00. Isso só vai acontecer se o usuário falar mais de $100$ minutos. Portanto, a função custo do pacote azul para $x > 100$ será o valor fixo somado ao valor dos minutos excedentes (que é o total de minutos $x$ menos os $100$ já inclusos): $C_A(x) = 80 + 0,90 \cdot (x - 100)$

Encontrando o ponto de vantagem

Queremos descobrir qual é o número mínimo de minutos $x$ para o qual o pacote laranja é estritamente mais barato que o pacote azul. Ou seja, precisamos resolver a seguinte inequação: $C_L(x) < C_A(x)$

Substituindo as expressões que encontramos para o intervalo de uso entre $100$ e $300$ minutos: $143 < 80 + 0,90 \cdot (x - 100)$

Agora, vamos resolver a inequação para isolar o $x$. Primeiro, subtraímos $80$ dos dois lados: $143 - 80 < 0,90 \cdot (x - 100)$ $63 < 0,90 \cdot (x - 100)$

Em seguida, passamos o $0,90$ dividindo: $\frac{63}{0,90} < x - 100$

Para facilitar a conta, podemos multiplicar o numerador e o denominador por $10$: $\frac{630}{9} < x - 100$ $70 < x - 100$

Por fim, somamos $100$ aos dois lados da inequação: $70 + 100 < x$ $170 < x$

O que é o mesmo que dizer: $x > 170$

Conclusão

A inequação nos mostra que, para o pacote laranja ser mais barato, o usuário precisa utilizar mais de $170$ minutos. Se ele usar exatamente $170$ minutos, os dois pacotes terão exatamente o mesmo custo (ambos custarão R$ 143,00).

Como o problema pede o número mínimo de minutos e as alternativas nos dão valores inteiros, o menor número inteiro estritamente maior que $170$ é $171$.

Logo, a partir de $171$ minutos, o pacote laranja já se torna a opção mais vantajosa.