Questão 177 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos lembrar da fórmula do volume de um cilindro, que é dada pela área da base multiplicada pela altura. Como a base de um cilindro é um círculo, a fórmula do volume é:

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Vamos organizar as informações dadas no problema para as duas embalagens:

Embalagem Tradicional:

• Raio da base: $R$
• Altura: $h$
• Volume (capacidade): $V_{tradicional} = \pi \cdot R^2 \cdot h$

Nova Embalagem:

• O enunciado diz que o raio foi reduzido à metade, então o novo raio é $\frac{R}{2}$.
• A nova altura é chamada de $a$.
• O volume da nova embalagem é a terça parte da tradicional, ou seja, $V_{nova} = \frac{V_{tradicional}}{3}$.

Agora, vamos calcular o volume da nova embalagem usando a fórmula do cilindro com as novas medidas:

$V_{nova} = \pi \cdot \left(\frac{R}{2}\right)^2 \cdot a$

Elevando a fração ao quadrado, temos:

$V_{nova} = \pi \cdot \frac{R^2}{4} \cdot a$

Sabemos que esse volume deve ser igual a um terço do volume da embalagem tradicional. Então, podemos igualar as duas expressões:

$\pi \cdot \frac{R^2}{4} \cdot a = \frac{\pi \cdot R^2 \cdot h}{3}$

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $\pi \cdot R^2$:

$\frac{a}{4} = \frac{h}{3}$

Para encontrar a expressão que relaciona a nova altura ($a$) com a altura tradicional ($h$), basta isolar o $a$ multiplicando ambos os lados por $4$:

$a = \frac{4h}{3}$

Assim, concluímos que a altura da nova embalagem deve ser $\frac{4}{3}$ da altura da embalagem tradicional.